Найдите значение: синус(-25π/6) + 3котангенс(-765°

Skvorec

53

Для начала, давайте вспомним основные понятия и формулы, связанные со синусом и котангенсом.

Синус - это тригонометрическая функция, которая связана с отношением противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Синус угла определяется как отношение противолежащего катета к длине гипотенузы:
\[\sin(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\]

Котангенс - это тригонометрическая функция, которая определяется как обратное значение тангенса. Котангенс угла определяется как отношение прилежащего катета к противолежащему катету:
\[\cot(\theta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}\]

Теперь, чтобы найти значение синуса и котангенса, подставим заданные углы: \(-\frac{25\pi}{6}\) и \(-765°\) соответственно.

1. Вычислим значение синуса \(-\frac{25\pi}{6}\):

Мы знаем, что один полный оборот равен \(2\pi\) радиан или \(360°\). Следовательно, угол \(-\frac{25\pi}{6}\) соответствует углу, который больше полного оборота на \(-\frac{\pi}{6}\). Поэтому мы можем считать угол по модулю \(\frac{\pi}{6}\):
\(\theta = -\frac{25\pi}{6} + k \cdot 2\pi\), где \(k\) - целое число.

Синус угла \(-\frac{25\pi}{6}\) равен синусу угла \(\frac{\pi}{6}\):
\[\sin\left(-\frac{25\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\]

Угол \(\frac{\pi}{6}\) соответствует \(30°\), что является привычным углом. Значение синуса угла \(30°\) равно \(\frac{1}{2}\). Поэтому
\[\sin\left(-\frac{25\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\]

2. Вычислим значение котангенса \(-765°\):

Заметим, что угол \(-765°\) эквивалентен углу \(360° - 765° = -405°\). Для нахождения котангенса угла \(-405°\) мы можем взять обратное значение тангенса этого угла.

Тангенс угла \(-405°\) равен тангенсу угла \(405°\), так как тангенс является периодической функцией с периодом \(180°\). Значение тангенса угла \(45°\) равно \(1\), поэтому
\[\tan(405°) = \tan(45°) = 1\]

Так как котангенс является обратным значением тангенса, мы получаем
\[\cot(-405°) = \frac{1}{\tan(405°)} = \frac{1}{1} = 1\]

Таким образом, значение синуса \(-\frac{25\pi}{6}\) равно \(\frac{1}{2}\), а значение котангенса \(-765°\) равно \(1\).

Найденные значения: \(\sin(-\frac{25\pi}{6}) = \frac{1}{2}\) и \(\cot(-765°) = 1\).