Найдите значение угла авс в треугольнике, заданного координатами вершин a(1; 5; 3), b(3; 3; 2), c(3

Angelina

35

Для нахождения значения угла авс в треугольнике, заданного координатами вершин a(1; 5; 3), b(3; 3; 2), c(3; 4; 1), мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

\[
\cos(\angle \text{{авс}}) = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AC}|}}
\]

где \(\angle \text{{авс}}\) - искомый угол авс,
\(\mathbf{AB}\) - вектор, указывающий из вершины a в вершину b,
\(\mathbf{AC}\) - вектор, указывающий из вершины a в вершину c.

Для начала, найдем векторы \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\).

\(\mathbf{AB}\) = \(\mathbf{B} - \mathbf{A}\) = (3; 3; 2) - (1; 5; 3) = (2; -2; -1)

\(\mathbf{AC}\) = \(\mathbf{C} - \mathbf{A}\) = (3; 4; 1) - (1; 5; 3) = (2; -1; -2)

Теперь найдем скалярное произведение \(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}\):

\(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}\) = (2; -2; -1) \(\cdot\) (2; -1; -2) = 2 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-2) = 4 + 2 + 2 = 8

Теперь найдем модули (длины) векторов \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\):

|\mathbf{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3

|\mathbf{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3

Подставим значения в формулу для нахождения косинуса угла:

\(\cos(\angle \text{{авс}}) = \frac{{8}}{{3 \cdot 3}} = \frac{{8}}{{9}}\)

Теперь найдем значение угла авс, взяв арккосинус от полученного значения:

\(\angle \text{{авс}} = \arccos\left(\frac{{8}}{{9}}\right)\)

Угол авс ≈ 23.58 градусов.

Таким образом, значение угла авс в данном треугольнике примерно равно 23.58 градусов.