Найдите значение выражения 4sin^4a/5sin^2a+15cos^2a при tga = корень

Владимировна

26

Хорошо, рассмотрим пошаговое решение этой задачи.

1. Дано выражение: \( \frac{4\sin^4 a}{5\sin^2 a + 15\cos^2 a} \).
2. Зная, что \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \), представим \( \sin^2 a \) и \( \cos^2 a \) через \( \tan a \).
Мы знаем, что \( \sin^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a + \sin^2 a} \) и \( \cos^2 a = \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a + \sin^2 a} \).
3. Подставим эти выражения в данное выражение: \( \frac{4\left(\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a + \sin^2 a}\right)^2}{5\left(\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a + \sin^2 a}\right) + 15\left(\frac{\cos^2 a}{\cos^2 a + \sin^2 a}\right)} \).
4. Упростим выражение, сокращая общие члены и приводя его к более удобному виду.
Получим: \( \frac{4\sin^4 a}{5\sin^2 a + 15\cos^2 a} = \frac{4\sin^4 a}{\sin^2 a + 3\cos^2 a} \).
5. Учитывая, что \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), можем записать новое выражение: \( \frac{4\sin^4 a}{\sin^2 a + 3\cos^2 a} = \frac{4\sin^4 a}{\sin^2 a + 3(1 - \sin^2 a)} \).
6. Продолжим упрощение: \( \frac{4\sin^4 a}{\sin^2 a + 3(1 - \sin^2 a)} = \frac{4\sin^4 a}{4\sin^2 a} \).
7. И, наконец, сократим общие члены: \( \frac{4\sin^4 a}{4\sin^2 a} = \sin^2 a \).

Таким образом, значение выражения \( \frac{4\sin^4 a}{5\sin^2 a + 15\cos^2 a} \) равно \( \sin^2 a \).