Найдите значения апофемы и плоского угла при вершине пирамиды в правильной треугольной пирамиде с боковой поверхностью

Oleg_5147

45

Для решения этой задачи нам понадобится знание основных свойств правильной треугольной пирамиды.

Давайте начнем с определения апофемы. Апофема - это расстояние от вершины пирамиды до центра ее основания. Для правильной треугольной пирамиды апофема \(a\) соединяет вершину пирамиды с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.

Формула для нахождения апофемы правильной треугольной пирамиды имеет вид:

\[a = \frac{s \sqrt{3}}{6},\]

где \(s\) - длина стороны основания пирамиды.

В нашей задаче известно, что боковая поверхность пирамиды равна 27 дм\(^2\). Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трех равных граней, которые в данном случае представляют собой равносторонний треугольник.

Формула для нахождения боковой поверхности правильной треугольной пирамиды имеет вид:

\[S_{\text{бок}} = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2,\]

где \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности, \(s\) - длина стороны основания пирамиды.

Подставляем известные значения в формулу:

\[27 = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2.\]

Сокращаем дробь и выражаем \(s^2\):

\[s^2 = \frac{27 \cdot 4}{\sqrt{3}}.\]

Вычисляем:

\[s^2 = 36 \sqrt{3}.\]

Теперь найдем длину стороны основания пирамиды:

\[s = \sqrt{36 \sqrt{3}} \approx 2 \cdot \sqrt{9 \sqrt{3}} \approx 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \approx 6 \text{ дм}.\]

Далее, для нахождения плоского угла (\(\alpha\)) при вершине пирамиды, воспользуемся следующей формулой:

\[\tan(\alpha) = \frac{a}{h},\]

где \(a\) - апофема, а \(h\) - высота пирамиды.

Нам известна длина стороны основания (\(s\)), поэтому длину апофемы \(a\) мы уже нашли. Теперь нам нужно найти высоту пирамиды (\(h\)).

Высота пирамиды может быть найдена с использованием теоремы Пифагора для боковой грани треугольника:

\[h = \sqrt{s^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2} = \frac{s \sqrt{3}}{2}.\]

Подставляем известные значения в формулу плоского угла:

\[\tan(\alpha) = \frac{\frac{s \sqrt{3}}{6}}{\frac{s \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{3}.\]

Теперь найдем плоский угол (\(\alpha\)) при вершине пирамиды:

\[\alpha = 180^{\circ} - \arctan\left(\frac{1}{3}\right).\]

Вычисляем:

\[\alpha \approx 180^{\circ} - 18.43^{\circ} \approx 161.57^{\circ}.\]

Итак, значение апофемы \(a\) в нашей пирамиде равно \(\frac{s \sqrt{3}}{6} \approx \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \approx 1.73\) дм, а плоский угол (\(\alpha\)) при вершине пирамиды равен приблизительно \(161.57^{\circ}\).