Найдите значения сторон прямоугольника с периметром 8 см, при котором площадь будет максимальной, используя
Найдите значения сторон прямоугольника с периметром 8 см, при котором площадь будет максимальной, используя производную.
Летающий_Космонавт 21
Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.Шаг 1: Пусть длины сторон прямоугольника будут \(x\) и \(y\). Мы знаем, что периметр прямоугольника равен \(P = 2x + 2y\) и равен 8 см. Запишем это уравнение:
\[2x + 2y = 8\]
Шаг 2: Теперь нам нужно выразить одну из переменных через другую. Давайте выразим \(y\) через \(x\). Для этого вычтем \(2x\) из обеих частей уравнения:
\[2y = 8 - 2x\]
Шаг 3: Приведем уравнение к более удобному виду, разделив обе части на 2:
\[y = 4 - x\]
Шаг 4: Теперь нам нужно найти площадь прямоугольника в зависимости от \(x\) и \(y\). Площадь вычисляется как произведение длин сторон:
\[S = x \cdot y\]
Подставим выражение для \(y\) в это уравнение:
\[S = x \cdot (4 - x)\]
Шаг 5: Теперь мы можем найти максимальное значение площади, используя производную. Чтобы это сделать, возьмем производную площади \(S\) по переменной \(x\). Упростим это выражение:
\[\frac{dS}{dx} = 4 - 2x\]
Шаг 6: Чтобы найти максимальное значение площади, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[4 - 2x = 0\]
Отнимем 4 от обеих частей:
\[-2x = -4\]
Разделим обе части на -2:
\[x = 2\]
Шаг 7: Теперь, когда у нас есть значение \(x\), мы можем найти значение \(y\), используя уравнение \(y = 4 - x\). Подставим \(x = 2\) в это уравнение:
\[y = 4 - 2 = 2\]
Шаг 8: Мы нашли значения сторон прямоугольника при которых его площадь будет максимальной. У нас получился прямоугольник со сторонами \(x = 2\) см и \(y = 2\) см. Площадь этого прямоугольника будет:
\[S = x \cdot y = 2 \cdot 2 = 4 \, \text{см}^2\]
Таким образом, чтобы максимизировать площадь прямоугольника при заданном периметре 8 см, его стороны должны быть равны 2 см и 2 см. При этих значениях площадь будет равна 4 квадратным сантиметрам.