Какой будет остаток от деления числа 2^1995+5*10^3 на 3? Предложите решение в виде сравнения

Любовь

30

Хорошо, рассмотрим эту задачу шаг за шагом.

Мы хотим найти остаток от деления числа \(2^{1995} + 5 \times 10^3\) на 3. Давайте представим это число в более удобном виде.

Мы знаем, что \(2^n\) при делении на 3 может давать остатки только 0, 1 или 2. Поэтому, чтобы упростить выражение, мы можем заменить \(2^{1995}\) на его остаток при делении на 3.

Для начала посмотрим остатки при делении степеней числа 2 на 3:
\[
2^1 \equiv 2 \pmod{3}
\]
\[
2^2 \equiv 1 \pmod{3}
\]
\[
2^3 \equiv 2 \pmod{3}
\]
\[
2^4 \equiv 1 \pmod{3}
\]
и так далее.

Мы видим, что степени числа 2 при делении на 3 чередуются между 2 и 1.

Интересно, что \(2^2 \equiv 1 \pmod{3}\), а значит \(2^4 \equiv (2^2)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}\). Аналогично, \(2^6\) также будет иметь остаток 1 при делении на 3. То есть, \(2^2\), \(2^4\), \(2^6\) и так далее дают остаток 1 при делении на 3.

Теперь посмотрим на число 1995. Мы можем разложить его на произведение чисел 1995 = 6 * 332 + 3. То есть, 1995 нацело делится на 6, а остаток равен 3.

Таким образом, мы можем заменить \(2^{1995}\) на \((2^6)^{332} \times 2^3\), что равносильно \((1)^{332} \times 2^3\), или просто \(2^3\).

Теперь, рассмотрим \(5 \times 10^3\). Это число может быть записано в виде \(5 \times (2 \times 5)^3 = 5 \times 2^3 \times 5^3 = 5 \times 8 \times 125 = 5000\).

Теперь, для нахождения остатка от деления числа \(2^{1995} + 5 \times 10^3\) на 3, мы можем записать его в виде:
\[
(2^3 + 5000) \equiv (1 + 5000) \pmod{3}
\]
\[
5001 \equiv 5001 \pmod{3}
\]

Остаток от деления числа \(2^{1995} + 5 \times 10^3\) на 3 равен 5001.