Каково наименьшее значение выражения a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате минус a умножить на b минус

Солнечный_Подрывник_3181

46

Для решения этой задачи нам нужно найти наименьшее значение выражения \(a^2 + b^2 + c^2 - a \cdot b - b \cdot c\).

Давайте проанализируем выражение и пошагово найдем его минимальное значение.

1. Вспомним неравенство о средних значениий: для любых двух чисел \(x\) и \(y\), справедливо неравенство \(\frac{{x^2 + y^2}}{2} \geq xy\).

2. Раскроем скобки в нашем выражении и приведем подобные слагаемые:
\[a^2 + b^2 + c^2 - a \cdot b - b \cdot c = \left(\frac{{a^2 + b^2}}{2}\right) + \left(\frac{{b^2 + c^2}}{2}\right) - \left(\frac{{2a \cdot b}}{2}\right) - \left(\frac{{2b \cdot c}}{2}\right).\]

3. Применим неравенство о средних значениях и заметим, что каждое слагаемое в скобках имеет вид \(\frac{{x^2 + y^2}}{2}\):
\[a^2 + b^2 + c^2 - a \cdot b - b \cdot c \geq \frac{{a^2 + b^2}}{2} + \frac{{b^2 + c^2}}{2} - \frac{{2a \cdot b}}{2} - \frac{{2b \cdot c}}{2}.\]

4. После применения неравенства о средних значениях получаем:
\[a^2 + b^2 + c^2 - a \cdot b - b \cdot c \geq \frac{{(a - b)^2}}{2} + \frac{{(b - c)^2}}{2}.\]

Таким образом, наименьшее значение выражения \(a^2 + b^2 + c^2 - a \cdot b - b \cdot c\) равно 0, когда \(a - b = 0\) и \(b - c = 0\). Это означает, что \(a = b\) и \(b = c\).

Наши выводы:
1. Если \(a = b = c\), то значение выражения будет равно 0.
2. Если \(a \neq b\) или \(b \neq c\), то значение выражения будет больше 0.

Таким образом, наименьшее значение выражения \(a^2 + b^2 + c^2 - a \cdot b - b \cdot c\) равно 0 и достигается только при условии, когда \(a = b = c\).