Найти число, точнее координаты, и площадь(представленную в квадратных метрах) центра тяжести двухмерной фигуры

Константин

47

Хорошо! Для начала, давайте рассмотрим случай, когда криволинейный участок контура является аркой половины окружности.

Мы знаем, что центр тяжести двухмерной фигуры находится в середине фигуры. Для определения этого центра тяжести, нам необходимо знать точные координаты фигуры.

Предположим, что ось OX находится вдоль арки окружности, а ось OY перпендикулярна оси OX. Давайте обозначим радиус окружности как \(r\) (в сантиметрах) и угол арки как \(\theta\) (в радианах).

Так как у нас половина окружности, то весь ее угол будет составлять \(\pi\) радианов. А значит у нас будет фигура, образованная аркой окружности и прямыми линиями OX и OY. Она будет симметрична относительно оси OX.

Чтобы найти координаты центра тяжести, нам необходимо разделить фигуру на бесконечно малые сегменты и найти их центры тяжести.

Поскольку фигура симметрична относительно оси OX, можно упростить задачу, рассмотрев только верхнюю половину фигуры. Затем можно умножить результат на 2, чтобы получить координаты центра тяжести для всей фигуры.

Давайте разобьем верхнюю половину фигуры на \(n\) сегментов. Тогда каждый сегмент будет иметь ширину \(\Delta x = \frac{r}{n}\), а его координата на оси OX будет \(x_i = i \cdot \Delta x\), где \(i\) - номер сегмента.

Чтобы найти высоту каждого сегмента, мы можем использовать теорему Пифагора. Радиус окружности \(r\) будет гипотенузой, а высота \(y_i\) каждого сегмента будет катетом. Используя тригонометрический соотношение \(\sin(\theta)\), мы можем записать \(y_i = r \cdot \sin(\frac{\theta}{n})\).

Площадь каждого сегмента будет равна ширине \(\Delta x\) умножить на высоту \(y_i\). Тогда общая площадь фигуры будет равна сумме площадей всех сегментов:

\[S = 2 \cdot \sum_{i=1}^{n} (\Delta x \cdot y_i) = 2 \cdot \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{r}{n} \cdot r \cdot \sin\left(\frac{\theta}{n}\right)\right)\]

Для нахождения координаты \(x\) центра тяжести, мы можем использовать формулу:

\[x = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i \cdot \Delta x \cdot y_i)}{\sum_{i=1}^{n} (\Delta x \cdot y_i)}\]

Аналогично, для нахождения координаты \(y\) центра тяжести, мы можем использовать формулу:

\[y = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\Delta x \cdot y_i \cdot (x_i + \Delta x/2)}{2}\right)}{\sum_{i=1}^{n} (\Delta x \cdot y_i)}\]

Давайте рассмотрим пример для более подробного понимания. Пусть \(r = 10\) см, \(\theta = \frac{\pi}{2}\), \(n = 4\).

1. Ширина каждого сегмента: \(\Delta x = \frac{r}{n} = \frac{10}{4} = 2.5\) см.
2. Координата \(x\) для каждого сегмента: \[x_i = i \cdot \Delta x = \{2.5, 5, 7.5, 10\}\] см.
3. Высота каждого сегмента: \[y_i = r \cdot \sin\left(\frac{\theta}{n}\right) = 10 \cdot \sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{4}\right) \approx 7.07\] см.
4. Площадь каждого сегмента: \[S_i = \Delta x \cdot y_i = 2.5 \cdot 7.07 \approx 17.68\] кв. см.
5. Сумма площадей всех сегментов: \[S = 2 \cdot \sum_{i=1}^{n} S_i = 2 \cdot (17.68 + 17.68 + 17.68 + 17.68) = 141.44\] кв. см.
6. Координата \(x\) центра тяжести: \[x = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i \cdot \Delta x \cdot y_i)}{\sum_{i=1}^{n} (\Delta x \cdot y_i)} = \frac{(2.5 \cdot 2.5 \cdot 7.07) + (5 \cdot 2.5 \cdot 7.07) + (7.5 \cdot 2.5 \cdot 7.07) + (10 \cdot 2.5 \cdot 7.07)}{141.44} \approx 6.25\] см.
7. Координата \(y\) центра тяжести: \[y = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\Delta x \cdot y_i \cdot (x_i + \Delta x/2)}{2}\right)}{\sum_{i=1}^{n} (\Delta x \cdot y_i)} = \frac{\left(\frac{2.5 \cdot 7.07 \cdot (2.5 + 2.5/2)}{2}\right) + \left(\frac{2.5 \cdot 7.07 \cdot (5 + 2.5/2)}{2}\right) + \left(\frac{2.5 \cdot 7.07 \cdot (7.5 + 2.5/2)}{2}\right) + \left(\frac{2.5 \cdot 7.07 \cdot (10 + 2.5/2)}{2}\right)}{141.44} \approx 5.59\] см.

Итак, координаты центра тяжести данной двумерной фигуры при заданных значениях радиуса и угла равны \(x \approx 6.25\) см и \(y \approx 5.59\) см. Площадь фигуры составляет примерно 141.44 квадратных сантиметра. Напомню, что значения на осях даны в сантиметрах.