Найти длины сторон и меры углов треугольника, имеющего вершины в точках a(-1; -2; 4), b(-4; -2; 0) и c(3

Pavel_4581

11

; 2; -1).

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве и формулы для нахождения углов между векторами.

Начнем с нахождения длин сторон треугольника. Для этого нам нужно найти расстояния между каждой парой вершин. Пусть \(A(-1, -2, 4)\), \(B(-4, -2, 0)\) и \(C(3, 2, -1)\). Найдем длину стороны \(AB\).

Формула для расстояния между двумя точками в пространстве:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Где \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\) - координаты двух точек.

Применим эту формулу для нахождения длины стороны \(AB\):

\[d_{AB} = \sqrt{{(-4 - (-1))^2 + (-2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2}}\]

\[d_{AB} = \sqrt{{(-3)^2 + 0 + (-4)^2}}\]

\[d_{AB} = \sqrt{{9 + 16}}\]

\[d_{AB} = \sqrt{{25}}\]

\[d_{AB} = 5\]

Таким образом, длина стороны \(AB\) равна 5. Повторим эту процедуру для остальных сторон.

\[d_{BC} = \sqrt{{(3 - (-4))^2 + (2 - (-2))^2 + (-1 - 0)^2}}\]

\[d_{BC} = \sqrt{{(7)^2 + (4)^2 + (-1)^2}}\]

\[d_{BC} = \sqrt{{49 + 16 + 1}}\]

\[d_{BC} = \sqrt{{66}}\]

\[d_{BC} \approx 8.12\]

\[d_{AC} = \sqrt{{(3 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2 + (-1 - 4)^2}}\]

\[d_{AC} = \sqrt{{(4)^2 + (4)^2 + (-5)^2}}\]

\[d_{AC} = \sqrt{{16 + 16 + 25}}\]

\[d_{AC} = \sqrt{{57}}\]

\[d_{AC} \approx 7.55\]

Теперь найдем меры углов треугольника. Для этого воспользуемся формулой для нахождения угла между векторами:

\[\cos{\theta} = \frac{{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}}{{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|}}\]

Где \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) - векторы.

Векторы \(\mathbf{AB}\), \(\mathbf{BC}\) и \(\mathbf{AC}\) найдем путем вычитания соответствующих координат:

\(\mathbf{AB} = \begin{bmatrix} -4 - (-1) \\ -2 - (-2) \\ 0 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix}\)

\(\mathbf{BC} = \begin{bmatrix} 3 - (-4) \\ 2 - (-2) \\ -1 - 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix}\)

\(\mathbf{AC} = \begin{bmatrix} 3 - (-1) \\ 2 - (-2) \\ -1 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ -5 \end{bmatrix}\)

Теперь найдем меры углов:

\(\cos{\angle BAC} = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AC}|}}\)

\(\cos{\angle BAC} = \frac{{(-3 \cdot 4) + (0 \cdot 4) + (-4 \cdot -5)}}{{5 \cdot 7.55}}\)

\(\cos{\angle BAC} = \frac{{12 + 0 + 20}}{{37.75}}\)

\(\cos{\angle BAC} \approx 0.9633\)

\(\angle BAC = \cos^{-1}{(0.9633)}\)

\(\angle BAC \approx 15.9^{\circ}\)

Аналогично находим меры углов \(\angle ABC\) и \(\angle BCA\):

\(\angle ABC \approx 76.4^{\circ}\)

\(\angle BCA \approx 87.7^{\circ}\)

Таким образом, длины сторон и меры углов треугольника равны:

\(AB = 5\), \(BC \approx 8.12\), \(AC \approx 7.55\)

\(\angle BAC \approx 15.9^{\circ}\), \(\angle ABC \approx 76.4^{\circ}\), \(\angle BCA \approx 87.7^{\circ}\)