What is the length of segment AK if BK = 5 and CK = 1, given that point E is the midpoint of side CD of rectangle ABCD

Черепаха_9758

59

Дано:

BK = 5 (длина отрезка BK равна 5)
CK = 1 (длина отрезка CK равна 1)

Условие:
Точка E является серединой стороны CD прямоугольника ABCD.
Точка K находится так, что угол AEK равен 90°.

Мы хотим найти длину отрезка AK.

Решение:
Поскольку точка E является серединой стороны CD прямоугольника ABCD, то можно предположить, что треугольники AKB и CKD являются подобными, так как соответствующие стороны пропорциональны.

Мы можем использовать это предположение, чтобы найти отношение между сторонами треугольников AKB и CKD:
\[\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{BK}}{{DK}}\]

Так как угол AEK равен 90°, то треугольники AKB и EKD являются прямоугольными. Это позволяет нам использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка DK:
\[DK^2 = EK^2 + BK^2\]

Так как точка E является серединой стороны CD, то длина отрезка EK равна половине длины стороны CD:
\[EK = \frac{{CD}}{2}\]

Таким образом, мы можем записать уравнение для нахождения длины отрезка DK:
\[DK^2 = \left(\frac{{CD}}{2}\right)^2 + BK^2\]

Теперь мы можем использовать информацию о длинах отрезков BK и CK, чтобы найти длину отрезка DK:
\[DK^2 = \left(\frac{{CD}}{2}\right)^2 + 5^2\]

Для нахождения длины отрезка AK, мы можем использовать соотношение, которое мы предположили:
\[\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{BK}}{{DK}}\]

Мы знаем значения длин отрезков CK и BK, а также найденную ранее длину отрезка DK:
\[\frac{{AK}}{{1}} = \frac{{5}}{{DK}}\]

Теперь мы можем найти длину отрезка AK, изменив уравнение:
\[AK = \frac{{5}}{{DK}}\]

Используя найденную ранее длину отрезка DK:
\[AK = \frac{{5}}{{\sqrt{{\left(\frac{{CD}}{2}\right)^2 + 5^2}}}}\]

Таким образом, длина отрезка AK равна \(\frac{{5}}{{\sqrt{{\left(\frac{{CD}}{2}\right)^2 + 25}}}}\).