Найти площадь поверхности шара, если плоскость, касающаяся шара, проходит на расстоянии 4 см от его центра. Диаметр

Magicheskiy_Troll

64

Для решения этой задачи мы будем использовать некоторые геометрические свойства шара и сферы.

1. Площадь поверхности шара:
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: \(S = 4\pi r^2\), где \(S\) - площадь поверхности, \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14, а \(r\) - радиус шара.

В данной задаче диаметр шара равен 6 см, что означает, что радиус \(r\) равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{6}{2} = 3\) см.

Подставляя данное значение радиуса в формулу, получим:
\(S = 4\pi \cdot (3)^2 = 36\pi\) см².

Ответ: Площадь поверхности шара равна 36\(\pi\) см².

2. Площадь сечения шара:
Площадь сечения шара, проходящего через конец его диаметра под углом 45 градусов, можно найти с использованием следующей формулы: \(S = \pi r^2 \sin^2\theta\), где \(S\) - площадь сечения, \(\pi\) - математическая константа, \(\theta\) - угол между плоскостью и диаметром шара, \(r\) - радиус шара.

В данном случае, у нас задан угол \(\theta = 45\) градусов и радиус шара \(r = 3\) см.

Подставляя значения в формулу, получим:
\(S = \pi \cdot (3)^2 \cdot \sin^2(45^\circ) = 9\pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\pi\) см².

Ответ: Площадь сечения шара равна \(\frac{9}{2}\pi\) см².

3. Нахождение радиуса сферы:
Площадь сферы \(S\) связана с радиусом \(R\) через формулу: \(S = 4\pi R^2\).

Площадь сферы, вписанной в куб, равна \(\frac{4}{3}\pi r^3\), где \(r\) - радиус вписанной сферы.

Мы знаем, что объем куба равен стороне в кубе, значит, его площадь равна \(S_{\text{куба}} = a^2\), где \(a\) - сторона куба.

Так как дано, что площадь сферы, вписанной в куб, равна площади куба, то у нас есть уравнение:
\(\frac{4}{3}\pi r^3 = a^2\).

Нам необходимо найти радиус \(R\) сферы, описанной около этого куба. Мы знаем, что радиус вписанной сферы \(r\) равен половине диагонали куба. Из геометрии куба, диагональ равна \(\sqrt{3} \cdot a\), где \(a\) - сторона куба.

Таким образом, у нас есть уравнение:
\(\frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2}\right)^3 = a^2\).

Из этого уравнения мы можем найти значение стороны куба \(a\) и подставить его в формулу для радиуса сферы.

Подробное решение этого уравнения выходит за рамки данного ответа, но можно воспользоваться численными методами или калькулятором, чтобы найти приближенное значение радиуса \(R\).

Ответ: Радиус сферы, описанной около куба, может быть найден путем решения уравнения и получения численного значения.