Найти представление матрицы линейного оператора A в базисе

Yarmarka

69

Хорошо! Чтобы найти представление матрицы линейного оператора A в базисе, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Выберите базис: Важно определить, в каком базисе мы хотим найти представление матрицы линейного оператора A. Обозначим этот базис через \(\mathbb{B} = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\), где \(n\) - размерность пространства.

2. Запишите линейный оператор: Теперь мы приступим к записи линейного оператора A. Обозначим образы векторов базиса \(\mathbb{B}\) через \(\mathbb{A} = \{A(v_1), A(v_2), \ldots, A(v_n)\}\).

3. Выразите образы векторов базиса через базис \(\mathbb{B}\): Так как базис \(\mathbb{B}\) является линейно независимым, то мы можем выразить образы векторов базиса \(\mathbb{A}\) через базис \(\mathbb{B}\). Пусть \(A(v_i) = a_{1i}v_1 + a_{2i}v_2 + \ldots + a_{ni}v_n\), где коэффициенты \(a_{ji}\) соответствуют \(j\)-й компоненте \(A(v_i)\) в базисе \(\mathbb{B}\).

4. Составьте матрицу: Теперь мы готовы составить матрицу линейного оператора A в базисе \(\mathbb{B}\), обозначим ее через \(M_{\mathbb{B}}(A)\). Эта матрица будет иметь размерность \(n \times n\), где \(n\) - размерность пространства.

В каждой строке \(i\) матрицы \(M_{\mathbb{B}}(A)\) расположены коэффициенты \(a_{ji}\), которые мы нашли на предыдущем шаге. То есть, строка \(i\) матрицы \(M_{\mathbb{B}}(A)\) будет выглядеть следующим образом: \([a_{1i}, a_{2i}, \ldots, a_{ni}]\).

Таким образом, мы получим матрицу \(M_{\mathbb{B}}(A)\), которая будет представлять линейный оператор A в заданном базисе \(\mathbb{B}\).

Надеюсь, эти пошаговые инструкции помогут вам понять, как найти представление матрицы линейного оператора A в базисе.