Сколько вариантов выбора 5 человек из 22 победителей восьмых классов на следующий этап олимпиады? Введите правильный

Sergeevna

9

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать комбинаторику и, конкретно, формулу для количества сочетаний.

Количество способов выбрать 5 человек из 22 победителей олимпиады будет равно числу сочетаний из 22 по 5.

Формула для количества сочетаний выглядит следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}
\]

где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае, \(n = 22\) и \(k = 5\), поэтому подставим значения в формулу:

\[
C(22, 5) = \frac{{22!}}{{5! \cdot (22 - 5)!}}
\]

Выполним вычисления:

\[
C(22, 5) = \frac{{22!}}{{5! \cdot 17!}}
\]

\[
C(22, 5) = \frac{{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!}}{{5! \cdot 17!}}
\]

Заметим, что \(17!\) сокращается в числителе и знаменателе:

\[
C(22, 5) = \frac{{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}}{{5!}}
\]

\[
C(22, 5) = \frac{{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}
\]

\[
C(22, 5) = \frac{{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}}{{120}}
\]

\[
C(22, 5) = \frac{{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}}{{120}}
\]

Теперь выполним вычисления:

\[
C(22, 5) = 26 \, 334
\]

Итак, количество вариантов выбора 5 победителей из 22 составляет 26 334.