Найти вероятность следующих событий в системе массового обслуживания (СМО), когда среднее число заявок λ [1/час

Sverkayuschiy_Pegas

37

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы, связанные с системами массового обслуживания. В данном случае мы будем использовать формулы для распределения Пуассона.

а) Чтобы найти вероятность поступления ровно k заявок за время t, воспользуемся формулой распределения Пуассона:

\[P(X = k) = \frac{{e^{-\lambda t}(\lambda t)^k}}{{k!}}\]

где X - количество поступивших заявок за время t, λ - среднее число заявок в час.

1. Для первого варианта, где λ = 40, t = 6 и k = 5, подставим значения в формулу:

\[P(X = 5) = \frac{{e^{-40 \cdot \frac{6}{60}}(40 \cdot \frac{6}{60})^5}}{{5!}}\]

Посчитав данное выражение, мы получаем вероятность поступления ровно 5 заявок за 6 минут.

б) Чтобы найти вероятность поступления менее k заявок за время t, мы должны найти сумму вероятностей поступления от 0 до k-1 заявки:

\[P(X < k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = k-1)\]

Воспользуемся формулой распределения Пуассона для каждого значения от 0 до k-1 и сложим полученные вероятности.

2. Для второго варианта, где λ = 30, t = 4 и k = 4, нам нужно вычислить сумму:

\[P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)\]

Вычислив данное выражение, мы получим вероятность поступления менее 4 заявок за 4 минуты.

в) Чтобы найти вероятность поступления более k заявок за время t, мы должны найти вероятность от k до бесконечности:

\[P(X > k) = 1 - P(X < k) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = k-1))\]

3. Для третьего варианта, где λ = 150, t = 3 и k - некоторое значение, мы можем найти вероятность поступления более k заявок следующим образом:

\[P(X > k) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = k-1))\]

Таким образом, мы можем посчитать вероятность поступления более k заявок за 3 минуты для любого значения k.

Описанный подход позволяет нам решить данную задачу с помощью формул распределения Пуассона. Теперь мы можем приступить к решению каждого из вариантов. Если у вас возникнут вопросы по какому-либо из подходов или вам потребуется дополнительное объяснение, пожалуйста, сообщите мне.