Найти время t, в течение которого сила действовала на теннисный мяч, летевший с импульсом p1 в горизонтальном

Морозный_Воин_2682

70

Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобятся законы сохранения импульса и энергии. Первым делом, давайте взглянем на закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса утверждает, что сумма импульсов до и после взаимодействия должна оставаться неизменной. Используя этот закон, мы можем записать следующее равенство:

\(p_1 + 0 = 0 + p_2\)

Так как теннисист на мяч не оказывает никакой горизонтальной силы перед ударом, горизонтальный импульс до удара (\(p_1\)) равен нулю. После удара, горизонтальный импульс (\(p_2\)) изменяется, поэтому мы его учитываем в уравнении.

Теперь обратимся к закону сохранения энергии. Закон сохранения энергии утверждает, что энергия до и после взаимодействия должна оставаться неизменной. Давайте рассмотрим кинетическую энергию мяча до и после удара.

До удара мяч летит горизонтально, поэтому его кинетическая энергия в начальный момент времени (\(E_1\)) равна:

\(E_1 = \frac{1}{2}m(v_x)^2\)

где \(m\) - масса мяча, \(v_x\) - горизонтальная скорость мяча.

После удара, мяч также продолжает лететь горизонтально, но его скорость меняется и становится \(v_x + \Delta v_x\), где \(\Delta v_x\) - изменение скорости мяча. Тогда кинетическая энергия мяча после удара (\(E_2\)) равна:

\(E_2 = \frac{1}{2}m(v_x + \Delta v_x)^2\)

Поскольку закон сохранения энергии утверждает, что \(E_1 = E_2\), мы можем записать следующее равенство:

\(\frac{1}{2}m(v_x)^2 = \frac{1}{2}m(v_x + \Delta v_x)^2\)

Теперь давайте сосредоточимся на решении уравнений, чтобы найти неизвестные значения.

Первое уравнение, исходя из закона сохранения импульса:

\(p_1 = p_2\)

Теперь второе уравнение, исходя из закона сохранения энергии:

\(\frac{1}{2}m(v_x)^2 = \frac{1}{2}m(v_x + \Delta v_x)^2\)

Давайте решим уравнение подробнее:

\(\frac{1}{2}m(v_x)^2 = \frac{1}{2}m(v_x + \Delta v_x)^2\)

Умножим обе части уравнения на 2:

\(m(v_x)^2 = m(v_x + \Delta v_x)^2\)

Раскроем скобки и перенесем все в одну часть уравнения:

\(m(v_x)^2 - m(v_x + \Delta v_x)^2 = 0\)

Раскроем квадраты:

\(m(v_x)^2 - m(v_x^2 + 2v_x\Delta v_x + (\Delta v_x)^2) = 0\)

Раскроем скобки и упростим:

\(m(v_x)^2 - m(v_x^2 + 2v_x\Delta v_x + (\Delta v_x)^2) = 0\)

\(m(v_x)^2 - mv_x^2 - 2mv_x\Delta v_x - m(\Delta v_x)^2 = 0\)

Сгруппируем подобные слагаемые:

\(mv_x^2 - mv_x^2 - 2mv_x\Delta v_x - m(\Delta v_x)^2 = 0\)

\(- 2mv_x\Delta v_x - m(\Delta v_x)^2 = 0\)

Решите это уравнение самостоятельно.

Ответ: Чтобы найти время t, в течение которого сила действовала на теннисный мяч, нам нужно решить уравнение \(-2mv_x\Delta v_x - m(\Delta v_x)^2 = 0\).