Найти все возможные значения параметра, при которых система уравнений ax^2+ay^2-(2a-5)x+1+2ay=0 x^2+y=xy+x имеет точно

Янтарь

53

Чтобы найти все возможные значения параметра \(a\), при которых данная система уравнений имеет ровно четыре различных решения, нам необходимо рассмотреть каждую часть системы по отдельности и затем объединить полученные результаты.

Первое уравнение системы:
\[ax^2+ay^2-(2a-5)x+1+2ay=0\]

Для начала, проведем анализ квадратного уравнения относительно переменной \(x\), считая \(y\) константой. Если это уравнение имеет два различных решения для любой фиксированной \(y\), то система уравнений будет иметь четыре различных решения.

Подставим \(y\) в первое уравнение и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения:
\[(a)x^2+(-(2a-5))x+(ay^2+2ay+1)=0\]

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) -- коэффициенты при \(x\) в уравнении \(ax^2+bx+c=0\).

Применим эту формулу к нашему уравнению и изучим условия для существования двух различных корней:
\[D=(-(2a-5))^2-4(a)(ay^2+2ay+1)\]

Чтобы иметь два различных корня, дискриминант \(D\) должен быть положительным:
\[D > 0\]

Выразим \(D\) через \(a\):
\[D = -4a^2y^2 + 4(2a-5)a - 4a - 4a^2y^2 - 8ay - 4a - 4\]

Сократим и упростим это выражение:
\[D = -8a^2y^2 - 16ay + 4a^2 + 16a - 4\]

Находим условия для существования двух различных корней:
\[D > 0\]
\[D \neq 0\]

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:
\[x^2+y=xy+x\]

Проведем преобразования, чтобы выразить \(x\) через \(y\):
\[x^2 - xy - x + y = 0\]
\[x(x - y - 1) - (x - y) = 0\]
\[x(x - y - 1) = (x - y)\]

Теперь имеем два случая для рассмотрения:

Случай 1: \(x - y - 1 = 0\)

Из этого уравнения находим, что \(x = y + 1\). Подставим это в первое уравнение системы и решим относительно \(y\). Получим следующее уравнение:
\[a(y+1)^2 + a y^2 - (2a-5)(y+1) + 1 + 2ay = 0\]
\[3ay^2 + 2ay - 5y - 3a + 4 = 0\]

Это квадратное уравнение по переменной \(y\), а значит его дискриминант должен быть положительным, чтобы иметь два различных решения. Поэтому решим неравенство:
\[D_y = (2a - 5)^2 - 4(3a)(-3a + 4) > 0\]

После решения этого неравенства, найденные значения \(a\) будут удовлетворять условию, если есть решения \(y\) в соответствующем уравнении.

Случай 2: \(x = 0\)
Из уравнения \(x = 0\) следует, что \(y = 0\). Подставим \(x = 0\) и \(y = 0\) в первое уравнение системы. Получим следующее уравнение:
\[a(0)^2 + a(0)^2 - (2a-5)(0) + 1 + 2a(0) = 0\]
\[1 = 0\]

Это неверное уравнение, следовательно, значения \(a\), при которых \(x = 0\) и \(y = 0\) не будут удовлетворять системе уравнений.

Объединив результаты из двух случаев, мы найдем значения параметра \(a\), при которых система уравнений имеет точно четыре различных решения.