Найти значение ускорения свободно падающего тела g, исходя из массы m тела, равной 2 кг, в случае, когда длина пружины

Koko

18

Конечно! Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о законе Гука и законе сохранения энергии.

Степень деформации пружины, обусловленная изменением длины, связана с величиной силы, которая действует на нее. По закону Гука, сила \( F \), действующая на пружину, пропорциональна изменению ее длины \( \Delta x \) и коэффициенту жесткости пружины \( k \):

\[ F = k \cdot \Delta x \]

В данной задаче, у нас есть значение изменения длины пружины \( \Delta x \), которое составляет 3 см, и масса тела \( m \), которая равна 2 кг. Мы должны найти ускорение свободно падающего тела \( g \).

Для нахождения ускорения, воспользуемся законом сохранения энергии.

Сумма потенциальной энергии и кинетической энергии тела должна быть постоянной:

\[ E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = \text{const} \]

Сначала, определим потенциальную энергию пружины \( E_{\text{пот}} \):

\[ E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 \]

Затем, рассмотрим кинетическую энергию тела \( E_{\text{кин}} \), которая связана с его массой \( m \) и скоростью \( v \):

\[ E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2 \]

Так как тело свободно падает, его начальная скорость равна нулю. Поэтому начальная кинетическая энергия также равна нулю:

\[ E_{\text{кин нач}} = \frac{1}{2} m \cdot 0^2 = 0 \]

Таким образом, закон сохранения энергии примет вид:

\[ E_{\text{пот нач}} = E_{\text{кин кон}} \]

\[ \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 = \frac{1}{2} m v^2 \]

Мы знаем, что ускорение \( g \) связано с конечной скоростью \( v \) следующим образом:

\[ v = g \cdot t \]

где \( t \) - время свободного падения тела.

Подставляя это выражение для \( v \), мы получаем:

\[ \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 = \frac{1}{2} m (g \cdot t)^2 \]

Теперь, нам необходимо выразить время \( t \) через неизвестную величину \( g \). Для этого, вспомним формулу для свободного падения:

\[ h = \frac{1}{2} g t^2 \]

где \( h \) - высота, на которой находится тело.

Высота \( h \) связана с начальной длиной пружины \( L_0 \) и увеличением ее длины \( \Delta x \) следующим образом:

\[ h = L_0 + \Delta x \]

Теперь, мы можем выразить время \( t \):

\[ t = \sqrt{\frac{2(h - L_0)}{g}} \]

Подставляя это выражение для \( t \) в наше изначальное уравнение, мы получаем:

\[ \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 = \frac{1}{2} m (g \cdot \sqrt{\frac{2(h - L_0)}{g}})^2 \]

Упростим это уравнение, чтобы найти значение ускорения \( g \):

\[ k (\Delta x)^2 = m \cdot g \cdot (2(h - L_0)) \]

Теперь, подставим известные значения в формулу и вычислим \( g \):

\[ k \cdot (0.03)^2 = 2 \cdot 9.8 \cdot (2 \cdot (h - L_0)) \]

\[ k \cdot 0.0009 = 39.2 \cdot (2 \cdot (h - L_0)) \]

\[ k \cdot 0.0009 = 78.4 \cdot (h - L_0) \]

\[ \frac{k \cdot 0.0009}{78.4} = h - L_0 \]

\[ h = \frac{k \cdot 0.0009}{78.4} + L_0 \]

Таким образом, мы можем найти значение ускорения \( g \), используя известные значения коэффициента жесткости пружины \( k \), начальной длины пружины \( L_0 \), исходной высоты \( h \) и формулу для \( g \):

\[ g = \frac{2 \cdot (h - L_0)}{(0.03)^2 \cdot k} \]