Не проводя вычислений, определите количество решений у системы уравнений. а) {2х+у=7, б) {2у-6х=1, в) {2х-3у=-1, х-2у=3

Magicheskiy_Feniks

57

Хорошо, давайте решим каждую систему уравнений по очереди.

а) Система уравнений:
\[
\begin{align*}
2x + y &= 7 \\
\end{align*}
\]

Для определения количества решений мы можем использовать понятие "системы совместных уравнений". Если система совместна, то есть имеет решение, она может иметь одно решение, бесконечное количество решений или не иметь решений.

Для этого приведем уравнения системы к уравнению прямой формы \(y = mx + b\), где \(m\) - это коэффициент наклона прямой, а \(b\) - y-перехват.

Преобразуем первое уравнение:
\[
\begin{align*}
2x + y &= 7 \\
y &= -2x + 7 \\
\end{align*}
\]

Получили уравнение прямой \(y = -2x + 7\). Теперь мы можем провести график этой прямой.

\[
Тут может быть ваш рисунок графика прямой y = -2x + 7
\]

Заметим, что прямая проходит через точку (0, 7) и имеет отрицательный коэффициент наклона. Теперь давайте рассмотрим второе уравнение из системы.

б) Система уравнений:
\[
\begin{align*}
2y - 6x &= 1 \\
\end{align*}
\]

Приведем уравнение к уравнению прямой формы:
\[
\begin{align*}
2y - 6x &= 1 \\
2y &= 6x + 1 \\
y &= 3x + \frac{1}{2} \\
\end{align*}
\]

Получили уравнение прямой \(y = 3x + \frac{1}{2}\). Построим график этой прямой.

\[
Тут может быть ваш рисунок графика прямой y = 3x + \frac{1}{2}
\]

Заметим, что прямая проходит через точку \((0, \frac{1}{2})\) и имеет положительный коэффициент наклона.

в) Система уравнений:
\[
\begin{align*}
2x - 3y &= -1 \\
x - 2y &= 3 \\
3x - y &= 5 \\
9y - 6x &= 3 \\
\end{align*}
\]

Для нахождения количества решений, мы можем использовать метод Гаусса, чтобы привести систему к ступенчатому виду:

\[
\begin{align*}
\begin{array}{ccc|c}
2 & -3 & -1 & \\
1 & -2 & 3 & \\
3 & -1 & 5 & \\
-6 & 9 & 3 & \\
\end{array}
\end{align*}
\]

При помощи элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду:

\[
\begin{align*}
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 3 & \\
0 & 1 & -2 & \\
0 & 0 & 1 & \\
0 & 0 & 0 & \\
\end{array}
\end{align*}
\]

Матрица имеет третью ступень и только нули после нее, что означает, что система не имеет решений.

Итак, чтобы подвести итог, количество решений в каждой системе уравнений: а) система имеет одно решение, б) система имеет одно решение, в) система не имеет решений.