Необходимо доказать, что через середину отрезка ac существует только одна плоскость, параллельная скрещивающимся прямым

Мышка

68

Для доказательства того, что через середину отрезка \(ac\) существует только одна плоскость, параллельная скрещивающимся прямым \(ab\), мы можем воспользоваться свойствами и определениями геометрии.

Дано: отрезок \(ac\) и прямые \(ab\) и \(cd\) скрещиваются в точке \(b\), где \(d\) - произвольная точка на прямой \(cd\).

Чтобы доказать существование только одной плоскости, параллельной скрещивающимся прямым \(ab\), мы должны показать, что такая плоскость существует и что других плоскостей, удовлетворяющих этому условию, не существует.

Предположим, что существует как минимум две плоскости, проходящие через середину отрезка \(ac\) и параллельные прямым \(ab\) и \(cd\). Обозначим эти плоскости как \(P_1\) и \(P_2\).

Рассмотрим середину отрезка \(ac\) - пусть это будет точка \(m\). Поскольку \(m\) является серединой отрезка \(ac\), он делит отрезок \(ac\) на две равные половины.

Теперь взглянем на треугольник \(mbd\), где \(b\) и \(d\) - это точки на прямых \(ab\) и \(cd\), соответственно. Поскольку \(m\) является серединой отрезка \(ac\), то отрезок \(bm\) будет равен отрезку \(md\), так как он делит его пополам.

Предположим, что плоскость \(P_1\) проходит через точку \(m\) и параллельна прямым \(ab\) и \(cd\), а плоскость \(P_2\) также проходит через точку \(m\) и параллельна прямым \(ab\) и \(cd\).

Таким образом, отрезок \(bm\) находится на плоскости \(P_1\) и \(P_2\), а также является равным отрезку \(md\) в треугольнике \(mbd\).

Но это противоречит основному геометрическому свойству: если две плоскости пересекают третью плоскость, то секущая прямая лежит в каждой из пересекающихся плоскостей.

Таким образом, предположение о существовании двух плоскостей, проходящих через середину отрезка \(ac\) и параллельных прямым \(ab\) и \(cd\), является ложным.

Следовательно, мы доказали, что существует только одна плоскость, проходящая через середину отрезка \(ac\) и параллельная прямым \(ab\) и \(cd\).