Необходимо доказать, что плоскости (mnk) и (bcd) являются параллельными. Для этого предположим, что точка d не лежит

Ярмарка

59

Чтобы доказать параллельность плоскостей (mnk) и (bcd), мы предполагаем, что точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, где A, B и C - вершины треугольника, а точки M, N и K - середины соответствующих сторон треугольника ABC.

Для начала, давайте рассмотрим плоскость (mnk). Точки M, N и K являются серединами сторон треугольника ABC, поэтому векторы \(\vec{MA}\), \(\vec{NA}\) и \(\vec{KA}\) равны векторам \(\vec{MB}\), \(\vec{NB}\) и \(\vec{KB}\) соответственно.

Далее, рассмотрим плоскость (bcd). Так как точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, то векторы \(\vec{DB}\), \(\vec{DC}\) и \(\vec{DA}\) отличны от нуля и не коллинеарны.

Теперь давайте рассмотрим вектор \(\vec{DC}\). Так как точка C является вершиной треугольника ABC, вектор \(\vec{DC}\) параллелен плоскости ABC. Поскольку точка M является серединой стороны AB, то \(\vec{DA}\) равен \(\vec{MC}\) и параллелен плоскости (mnk). Так как \(\vec{DC}\) параллелен плоскости ABC, а \(\vec{DA}\) параллелен плоскости (mnk), то векторы \(\vec{DA}\) и \(\vec{DC}\) лежат в одной плоскости.

Теперь рассмотрим вектор \(\vec{DB}\). Поскольку точка N является серединой стороны AC, \(\vec{DA}\) равен \(\vec{NB}\) и параллелен плоскости (mnk). Вектор \(\vec{DB}\) отличается от вектора \(\vec{DC}\), который уже был показан находится в плоскости ABC. Таким образом, векторы \(\vec{DA}\) и \(\vec{DB}\) не лежат в одной плоскости.

Из этого следует, что векторы \(\vec{DA}\), \(\vec{DB}\) и \(\vec{DC}\) не лежат в одной плоскости (bcd). Но мы уже доказали, что векторы \(\vec{DA}\) и \(\vec{DC}\) лежат в плоскости (mnk). Таким образом, плоскость (bcd) не пересекает плоскость (mnk) и они являются параллельными.