Необходимо доказать, что точки пересечения прямых, проведенных через точку пересечения диагоналей параллелограмма

Матвей

54

Для начала, давайте разберемся, что такое параллелограмм. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны друг другу.

Итак, у нас есть параллелограмм с точкой пересечения диагоналей, обозначим эту точку как $O$. Далее, проведем прямые через $O$ и точки пересечения со сторонами параллелограмма. Пусть эти точки пересечения будут $A_1,A_2,B_1,B_2$, где $A_1$ и $A_2$ - точки пересечения прямых со стороной $AB$, а $B_1$ и $B_2$ - точки пересечения прямых со стороной $BC$.

Нам необходимо доказать, что $A_1{A}_2{B}_1{B}_2$ также является параллелограммом.

Для начала, заметим, что так как прямые проходят через точку пересечения диагоналей, они являются биссектрисами углов параллелограмма.

Теперь рассмотрим стороны $A_1{A}_2$ и $B_1{B}_2$ нового четырехугольника $A_1{A}_2{B}_1{B}_2$. В параллелограмме сторона $A_1{A}_2$ параллельна и равна стороне $B_1{B}_2$ исходного параллелограмма.

Также заметим, что треугольники $O{A}_1{B}_1$ и $O{A}_2{B}_2$ подобны. Это связано с тем, что они имеют напротив себя равные углы:

$\mathrm{\angle }O{A}_1{B}_1=\mathrm{\angle }O{A}_2{B}_2$ (как биссектрисы углов параллелограмма) и $\mathrm{\angle }{A}_{1}O{B}_1=\mathrm{\angle }{A}_{2}O{B}_2$ (как вертикальные углы).

Из подобия треугольников следует, что отношение длин сторон будет одинаково:

$\frac{O{A}_1}{O{A}_2}=\frac{O{B}_1}{O{B}_2}$

Также, так как сторона $A_1{A}_2$ параллельна стороне $B_1{B}_2$ и равна ей, у нас имеется наличие двух параллельных сторон, а значит, остальные стороны также параллельны.

Таким образом, все условия параллелограмма выполняются и мы можем заключить, что четырехугольник $A_1{A}_2{B}_1{B}_2$ является параллелограммом.

Доказательство завершено.