Необходимо доказать, что в прямоугольнике ABCD отрезки AC и DM перпендикулярны при условии, что M – середина BC, АВ=1

Сверкающий_Гном_3930

39

Хорошо, давайте рассмотрим задачу подробно.

Для начала, нам необходимо рассмотреть, что такое скалярное произведение векторов. Скалярное произведение двух векторов определяется следующим образом: если у нас есть два вектора \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\), тогда их скалярное произведение записывается как \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\) и вычисляется по формуле \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta)\), где \(|\overrightarrow{u}|\) и \(|\overrightarrow{v}|\) - длины векторов \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\) соответственно, а \(\theta\) - угол между этими векторами.

Теперь, чтобы доказать, что в прямоугольнике ABCD отрезки AC и DM перпендикулярны, нам пригодится знание того, что два вектора перпендикулярны, если и только если их скалярное произведение равно нулю.

Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{DM}\). Чтобы выразить эти векторы через координаты точек, нам понадобятся координаты точек A, B, C и M.

Пусть A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) и M(x4, y4).

Теперь мы можем выразить вектор \(\overrightarrow{AC}\) как \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\), а вектор \(\overrightarrow{DM}\) как \(\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{D}\).

Подставив координаты точек, получаем:

\[\overrightarrow{AC} = (x3 - x1, y3 - y1)\]
\[\overrightarrow{DM} = (x4 - x2, y4 - y2)\]

Теперь найдем длины векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{DM}\). Длина вектора можно найти по формуле \(|\overrightarrow{v}| = \sqrt{{x^2 + y^2}}\), где \(x\) и \(y\) - координаты вектора.

Для вектора \(\overrightarrow{AC}\) получаем:
\[|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{{(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2}}\]

А для вектора \(\overrightarrow{DM}\):
\[|\overrightarrow{DM}| = \sqrt{{(x4 - x2)^2 + (y4 - y2)^2}}\]

Теперь мы можем вычислить \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DM}\), используя формулу для скалярного произведения векторов:

\[\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DM} = (x3 - x1)(x4 - x2) + (y3 - y1)(y4 - y2)\]

Нам осталось проверить, равно ли это скалярное произведение нулю. Если \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DM} = 0\), то отрезки AC и DM перпендикулярны.

Теперь, сравним это с условием задачи.

У нас дано, что AB = 1 и BC = √2. Это означает, что координаты точек A, B и C будут следующими:

A(0, 0), B(1, 0), C(1, √2)

Также задано, что M - середина BC, поэтому координаты точки M будут:

M(1, √1)

Подставив эти значения в выражение для \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DM}\), мы получим:

\((1 - 0)(1 - 1) + (√2 - 0)(√1 - 0) = 0 + √2 \cdot 1 = √2\)

Таким образом, мы видим, что \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DM} = √2\), а не 0, что означает, что отрезки AC и DM не являются перпендикулярными.

Из этого следует, что условие задачи неверно, и мы не можем доказать, что в прямоугольнике ABCD отрезки AC и DM перпендикулярны с использованием скалярного произведения векторов.

Пожалуйста, обращайтесь, если у вас есть дополнительные вопросы.