Необходимо найти токи в ветвях данной сложной цепи постоянного тока, используя метод контурных токов. Для этого

Iskryaschiysya_Paren_4512

61

Чтобы найти токи в ветвях данной сложной цепи, мы можем использовать метод контурных токов. Давайте разобьем цепь на несколько контуров и назначим токи в каждом контуре.

Представим, что у нас есть два контура: контур 1 и контур 2.

В контуре 1 проходят токи \(I_1\) и \(I_2\), а в контуре 2 проходят токи \(I_2\) и \(I_3\).

Теперь давайте запишем законы Кирхгофа для каждого контура.

В контуре 1, сумма падений напряжения на элементах цепи должна быть равна электродвижущей силе:

\[E_1 - I_1 \cdot R_{01} - (I_1 - I_2) \cdot R_1 - (I_1 - I_3) \cdot R_3 = 0\]

В контуре 2, аналогично:

\[E_2 - (I_2 - I_1) \cdot R_1 - (I_2 - I_3) \cdot R_2 - I_2 \cdot R_{02} - I_2 \cdot R_4 = 0\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (токами \(I_1\) и \(I_2\)). Решим эту систему уравнений для нахождения значений этих токов.

Сначала подставим выражение \(I_2 = I_3 + I_1\) из контура 1 в уравнение контура 2:

\[E_2 - (I_2 - I_1) \cdot R_1 - (I_2 - (I_3 + I_1)) \cdot R_2 - I_2 \cdot R_{02} - I_2 \cdot R_4 = 0\]

Далее упростим это уравнение:

\[E_2 - (I_2 - I_1) \cdot R_1 - (I_2 - I_3 - I_1) \cdot R_2 - I_2 \cdot R_{02} - I_2 \cdot R_4 = 0\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[E_2 - I_2 \cdot R_1 + I_1 \cdot R_1 - I_2 \cdot R_2 + I_3 \cdot R_2 + I_1 \cdot R_2 - I_2 \cdot R_{02} - I_2 \cdot R_4 = 0\]

Группируем токи и упрощаем:

\[-(R_1 + R_2 + R_4 + R_{02}) \cdot I_2 + (R_1 + R_2) \cdot I_1 + R_2 \cdot I_3 + E_2 = 0\]

Теперь мы получили одно уравнение с двумя неизвестными \(I_1\) и \(I_2\).

Далее решаем это уравнение относительно \(I_2\):

\[-(R_1 + R_2 + R_4 + R_{02}) \cdot I_2 = -(R_1 + R_2) \cdot I_1 - R_2 \cdot I_3 - E_2\]

\[I_2 = \frac{{(R_1 + R_2) \cdot I_1 + R_2 \cdot I_3 + E_2}}{{R_1 + R_2 + R_4 + R_{02}}}\]

Теперь, чтобы найти \(I_1\), подставим найденное значение \(I_2\) в любое из наших исходных уравнений (например, в первое уравнение контура 1):

\[E_1 - I_1 \cdot R_{01} - (I_1 - \frac{{(R_1 + R_2) \cdot I_1 + R_2 \cdot I_3 + E_2}}{{R_1 + R_2 + R_4 + R_{02}}}) \cdot R_1 - (I_1 - I_3) \cdot R_3 = 0\]

Раскроем скобки и упростим это уравнение:

\[E_1 - I_1 \cdot R_{01} - I_1 \cdot R_1 + \frac{{(R_1 + R_2) \cdot I_1 + R_2 \cdot I_3 + E_2}}{{R_1 + R_2 + R_4 + R_{02}}} \cdot R_1 - I_1 \cdot R_3 + I_3 \cdot R_3 = 0\]

Сгруппируем коэффициенты при \(I_1\):

\[(R_{01} + R_1 + \frac{{(R_1 + R_2) \cdot R_1}}{{R_1 + R_2 + R_4 + R_{02}}} - R_3) \cdot I_1 + (E_1 + \frac{{R_2 \cdot I_3 + E_2 \cdot R_1}}{{R_1 + R_2 + R_4 + R_{02}}} + I_3 \cdot R_3) = 0\]

Теперь, чтобы найти \(I_1\), мы можем использовать это уравнение:

\[I_1 = \frac{{-(E_1 + \frac{{R_2 \cdot I_3 + E_2 \cdot R_1}}{{R_1 + R_2 + R_4 + R_{02}}} + I_3 \cdot R_3)}}{{R_{01} + R_1 + \frac{{(R_1 + R_2) \cdot R_1}}{{R_1 + R_2 + R_4 + R_{02}}} - R_3}}\]

Таким образом, мы нашли значения токов \(I_1\) и \(I_2\) с использованием метода контурных токов.