Необходимо подтвердить, что число 1111103 не может быть выражено как сумма двух квадратов натуральных чисел

Morskoy_Briz

55

Хорошо! Чтобы решить задачу и показать, что число 1111103 не может быть представлено в виде суммы двух квадратов натуральных чисел, мы можем воспользоваться теоремой Ферма.

Теорема Ферма гласит, что некоторое натуральное число \( n \) может быть представлено в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда все простые делители \( p \) числа \( n \), имеющие вид \( 4k + 3 \), входят в это представление в нечетной степени.

Проверим, является ли число 1111103 суммой двух квадратов натуральных чисел.

1. Сначала рассмотрим делители числа 1111103. Простым делителем является число 47. Проверим, соответствует ли он условию теоремы Ферма.

Если мы разложим число 1111103 на простые множители с использованием алгоритма разложения на множители, получим следующее:
\[ 1111103 = 47 \cdot 23617 \]

Заметим, что простой делитель 47 имеет вид \( 4k + 3 \).

Теперь посмотрим на разложение числа 23617 на простые множители:
\[ 23617 = 7 \cdot 3373 \]

Оба простых делителя 7 и 3373 имеют вид \( 4k + 3 \).

Согласно теореме Ферма, если число 1111103 могло быть выражено в виде суммы двух квадратов натуральных чисел, то все его делители вида \( 4k + 3 \) должны являться делителями самих этих квадратов. Однако, поскольку простые делители 47, 7 и 3373 входят в разложение числа 1111103 в нечетной степени, число 1111103 не может быть представлено в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.

2. Таким образом, мы показали, что число 1111103 не может быть представлено в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.

Это доказательство основано на теореме Ферма и целомудренном разложении числа 1111103 на простые множители.