Одновременно зажгли три свечи одинаковой длины, но с разными диаметрами. Все свечи имеют длину 30 см. Первая свеча

Pingvin_3988

68

Чтобы решить эту задачу, давайте разложим информацию на отдельные шаги и посмотрим, что у нас есть:

1. Первая свеча горит в течение 10 часов.
2. Остаток от первой свечи в три раза длиннее, чем остаток от второй свечи.

Пусть \(d_1\), \(d_2\) и \(d_3\) - диаметры первой, второй и третьей свечи соответственно. Так как все свечи одинаковой длины, то разность в диаметрах пропорциональна разности в объемах.

Пусть \(V_1\), \(V_2\) и \(V_3\) - объемы первой, второй и третьей свечи соответственно.

Мы знаем, что длина всех свечей равна 30 см. Объем цилиндра можно вычислить по формуле: \(\pi r^2 h\), где \(r\) - радиус свечи (половина диаметра), а \(h\) - высота свечи.

Так как свечи одинаковой длины, имеем:

\[\pi (r_1)^2 h = \pi (r_2)^2 h = \pi (r_3)^2 h\]

Делим все части на \(\pi h\) и получаем:

\[(r_1)^2 = (r_2)^2 = (r_3)^2\]

Теперь можем перейти к условию задачи. Мы знаем, что остаток от первой свечи в три раза длиннее, чем остаток от второй свечи. Пусть \(l_1\), \(l_2\) и \(l_3\) - длины остатков первой, второй и третьей свечи соответственно.

Так как длина свечи связана с ее объемом, можем написать:

\(l_1 = \frac{1}{3}h_1\)
\(l_2 = \frac{1}{1}h_2\) (остаток от второй свечи равен ее полной высоте)
\(l_3 = \frac{1}{1}h_3\) (остаток от третьей свечи равен ее полной высоте)

Где \(h_1\), \(h_2\) и \(h_3\) - высоты остатков первой, второй и третьей свечи соответственно.

Так как диаметры свечей разные, то объемы остатков будут различными:

\(V_1 = \pi (r_1)^2 l_1\)
\(V_2 = \pi (r_2)^2 l_2\)
\(V_3 = \pi (r_3)^2 l_3\)

Подставляем соответствующие значения и получаем:

\(\pi (r_1)^2 \frac{1}{3}h_1 = \pi (r_2)^2 \frac{1}{1}h_2 = \pi (r_3)^2 \frac{1}{1}h_3\)

Делим все части на \(\pi\) и приравниваем:

\((r_1)^2 \frac{1}{3}h_1 = (r_2)^2 \frac{1}{1}h_2 = (r_3)^2 \frac{1}{1}h_3\)

Коэффициенты равенства получились \(\frac{1}{3} : \frac{1}{1} : \frac{1}{1}\), что соответствует всем зажженным свечам и остаткам от них. Следовательно, время горения свечей и времена их остатков тоже имеют отношение 1:3:3.

Таким образом, время полного сгорания третьей свечи будет равно:

\[10 \cdot 3 = 30\] часов.

Ответ: Полное сгорание третьей свечи займет 30 часов.