Определить интервалы значений z, при которых корни уравнения x 2 - 2zx + z 2 -1 = 0 находятся между

Anton

7

Данное квадратное уравнение вида \(x^2 - 2zx + z^2 - 1 = 0\) можно решить, используя метод дискриминанта. Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - это коэффициенты при \(x^2\), \(x\), и свободном члене соответственно.

Чтобы найти интервалы значений \(z\), при которых корни уравнения находятся между определенными значениями, нужно рассмотреть значение дискриминанта и условия для корней.

1. Вычислим дискриминант. В данном уравнении \(a = 1\), \(b = -2z\) и \(c = z^2 - 1\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[D = (-2z)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (z^2 - 1)\]
\[D = 4z^2 - 4(z^2 - 1)\]
\[D = 4z^2 - 4z^2 + 4\]
\[D = 4\]

2. Теперь рассмотрим условия для корней. Если дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один вещественный корень. И если \(D < 0\), то уравнение имеет два мнимых корня.

В данной задаче нам интересно, чтобы корни находились между определенными значениями. У нас нет конкретных значений для этих интервалов, поэтому будем рассматривать уравнение и условия для корней в общем виде.

Если у нас два различных вещественных корня, это означает, что дискриминант положителен. То есть, \(D > 0\).

3. Подставим \(D = 4\) в неравенство \(D > 0\):

\[4 > 0\]

Так как это неравенство верно для любых значений \(z\), то корни уравнения будут находиться между заданными интервалами значений \(z\) для любых значений \(z\).

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 2zx + z^2 - 1 = 0\) будут находиться между заданными интервалами значений для любых значений \(z\).