Определить, какие из нижеперечисленных операций возможны с матрицами, определить размеры полученных матриц, выполнить

Собака

19

Для начала, посмотрим на размеры данных матриц:

Матрица a имеет размерность 2x3 (2 строки и 3 столбца), матрица b имеет размерность 1x4 (1 строка и 4 столбца), и матрица c имеет размерность 1x2 (1 строка и 2 столбца).

Давайте поочередно решим заданные операции:

1. $2a-5c$:

У нас есть две матрицы разных размеров, поэтому операция вычитания невозможна. Мы не можем вычесть матрицу размером 1x2 из матрицы размером 2x3. Ответ: Операция невозможна.

2. $2a^T-4c$:

Сначала найдем транспонированную матрицу a:

$$a^T=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 0\\ 0& 7\end{array}\right]$$

Теперь вычислим заданную операцию:

$$2a^T-4c=2\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 0\\ 0& 7\end{array}\right]-4\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$$

Выполним умножение каждого элемента на число:

$$2\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 0\\ 0& 7\end{array}\right]-4\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 12\\ 10& 0\\ 0& 14\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 4\end{array}\right]$$

Так как матрицы имеют разные размеры, мы не можем выполнить операцию вычитания. Ответ: Операция невозможна.

3. $a+b$:

Сложим матрицы a и b:

$$a+b=\left[\begin{array}{cccccc}1& 5& 0& 6& 0& 7\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 8& -1\end{array}\right]$$

Добавим соответствующие элементы:

$$a+b=\left[\begin{array}{cccccc}2& 9& 8& 5& 0& 7\end{array}\right]$$

Результатом операции является матрица размером 1x6. Ответ: $\left[\begin{array}{cccccc}2& 9& 8& 5& 0& 7\end{array}\right]$

4. $c^T+b$:

Транспонируем матрицу c:

$$c^T=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

Сложим матрицы:

$$c^T+b=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 8& -1\end{array}\right]$$

Добавим соответствующие элементы:

$$c^T+b=\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\\ 0\end{array}\right]$$

Результатом операции является матрица размером 4x1. Ответ: $\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\\ 0\end{array}\right]$

5. $b+c$:

Сложим матрицы:

$$b+c=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 8& -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$$

Добавим соответствующие элементы:

$$b+c=\left[\begin{array}{cccc}1& 5& 8& 0\end{array}\right]$$

Результатом операции является матрица размером 1x4. Ответ: $\left[\begin{array}{cccc}1& 5& 8& 0\end{array}\right]$

6. $b+c^T$:

Транспонируем матрицу c:

$$c^T=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

Сложим матрицы:

$$b+c^T=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 8& -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

Добавим соответствующие элементы:

$$b+c^T=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 8& -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 8& -1\\ 1& 5& 9& 0\end{array}\right]$$

Результатом операции является матрица размером 2x4. Ответ: $\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 8& -1\\ 1& 5& 9& 0\end{array}\right]$

7. $a\ast b$:

Умножим матрицу a на матрицу b:

$$a\ast b=\left[\begin{array}{cccccc}1& 5& 0& 6& 0& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 8\\ -1\end{array}\right]$$

Умножение производится по правилу строки на столбец:

$$a\ast b=\left[\begin{array}{c}(1\cdot 1+5\cdot 4+0\cdot 8+6\cdot -1+0\cdot 0+7\cdot 0)\end{array}\right]$$

Выполним умножение:

$$a\ast b=\left[\begin{array}{c}1\cdot 1+5\cdot 4+0\cdot 8+6\cdot -1+0\cdot 0+7\cdot 0\end{array}\right]$$

Ответ: Операция невозможна, так как размеры матриц несовместимы для умножения.

8. $a^T\ast b$:

Транспонируем матрицу a:

$$a^T=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 0\\ 0& 7\end{array}\right]$$

Умножим транспонированную матрицу a на матрицу b:

$$a^T\ast b=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 0\\ 0& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 8\\ -1\end{array}\right]$$

Умножение производится по правилу строки на столбец:

$$a^T\ast b=\left[\begin{array}{c}1\cdot 1+6\cdot 4\\ 5\cdot 1+0\cdot 4\\ 0\cdot 1+7\cdot 8\end{array}\right]$$

Выполним умножение:

$$a^T\ast b=\left[\begin{array}{c}25\\ 5\\ 56\end{array}\right]$$

Результатом операции является матрица размером 3x1. Ответ: $\left[\begin{array}{c}25\\ 5\\ 56\end{array}\right]$

9. $b\ast a^T$:

Транспонируем матрицу a:

$$a^T=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 0\\ 0& 7\end{array}\right]$$

Умножим матрицу b на транспонированную матрицу a:

$$b\ast a^T=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 8\\ -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 0\\ 0& 7\end{array}\right]$$

Умножение производится по правилу строки на столбец:

$$b\ast a^T=\left[\begin{array}{c}1\cdot 1+4\cdot 5+8\cdot 0+-1\cdot 0\end{array}\right]$$

Выполним умножение:

$$b\ast a^T=\left[\begin{array}{c}21\end{array}\right]$$

Результатом операции является матрица размером 1x1. Ответ: $\left[\begin{array}{c}21\end{array}\right]$

10. $c^T\ast b$:

Транспонируем матрицу c:

$$c^T=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

Умножим транспонированную матрицу c на матрицу b:

$$c^T\ast b=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 8\\ -1\end{array}\right]$$

Умножение производится по правилу строки на столбец:

$$c^T\ast b=\left[\begin{array}{c}0\cdot 1+1\cdot 4\end{array}\right]$$

Выполним умножение:

$$c^T\ast b=\left[\begin{array}{c}4\end{array}\right]$$

Результатом операции является матрица размером 1x1. Ответ: $\left[\begin{array}{c}4\end{array}\right]$

11. $c\ast b^T$:

Транспонируем матрицу b:

$$b^T=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 8\\ -1\end{array}\right]$$

Умножим матрицу c на транспонированную матрицу b:

$$c\ast b^T=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 8& -1\end{array}\right]$$

Умножение производится по правилу строки на столбец:

$$c\ast b^T=\left[\begin{array}{cccc}0\cdot 1& 0\cdot 4& 0\cdot 8& 0\cdot -1\\ 1\cdot 1& 1\cdot 4& 1\cdot 8& 1\cdot -1\end{array}\right]$$

Выполним умножение:

$$c\ast b^T=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 4& 8& -1\end{array}\right]$$

Результатом операции является матрица размером 2x4. Ответ: $\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 4& 8& -1\end{array}\right]$

12. $a^T\ast c$:

Транспонируем матрицу a:

$$a^T=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 0\\ 0& 7\end{array}\right]$$

Умножим транспонированную матрицу a на матрицу c:

$$a^T\ast c=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 0\\ 0& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

Умножение производится по правилу строки на столбец:

$$a^T\ast c=\left[\begin{array}{c}1\cdot 0+6\cdot 1\\ 5\cdot 0+0\cdot 1\\ 0\cdot 0+7\cdot 1\end{array}\right]$$

Выполним умножение:

$$a^T\ast c=\left[\begin{array}{c}6\\ 0\\ 7\end{array}\right]$$

Результатом операции является матрица размером 3x1. Ответ: $\left[\begin{array}{c}6\\ 0\\ 7\end{array}\right]$

13. $a\ast c$:

Умножим матрицу a на матрицу c:

$$a\ast c=\left[\begin{array}{cccccc}1& 5& 0& 6& 0& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

Умножение производится по правилу строки на столбец:

$$a\ast c=\left[\begin{array}{c}1\cdot 0+5\cdot 1+0\cdot 0+6\cdot 0+0\cdot 1+7\cdot 0\end{array}\right]$$

Выполним умножение:

$$a\ast c=\left[\begin{array}{c}5\end{array}\right]$$

Результатом операции является матрица размером 1x1. Ответ: $\left[\begin{array}{c}5\end{array}\right]$

14. $c^T\ast a$:

Транспонируем матрицу c:

$$c^T=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

Умножим транспонированную матрицу c на матрицу a:

$$c^T\ast a=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccccc}1& 5& 0& 6& 0& 7\end{array}\right]$$

Умножение производится по правилу строки на столбец:

$$c^T\ast a=\left[\begin{array}{cccccc}0\cdot 1& 0\cdot 5& 0\cdot 0& 0\cdot 6& 0\cdot 0& 0\cdot 7\\ 1\cdot 1& 1\cdot 5& 1\cdot 0& 1\cdot 6& 1\cdot 0& 1\cdot 7\end{array}\right]$$

Выполним умножение:

$$c^T\ast a=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 5& 0& 6& 0& 7\end{array}\right]$$

Результатом операции является матрица размером 2x6. Ответ: $\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 5& 0& 6& 0& 7\end{array}\right]$

Таким образом, мы рассмотрели все заданные операции с матрицами, определили их возможность и размеры полученных матриц, а также выполнить сами операции, где это было возможно.