Определить значения х, при которых производная функции f(х) равна 0: 1) f(x) = естественный логарифм (x+4) - x

Сверкающий_Джентльмен

37

Конечно! Давайте приступим к решению каждой из данных задач.

1) Для нахождения значений \(x\), при которых производная функции \(f(x)\) равна 0, мы должны найти точки, где касательная к графику функции \(f(x)\) параллельна оси \(x\).

Для функции \(f(x) = \ln(x+4) - x\) мы сначала возьмем производную от этой функции:

\[
f"(x) = \frac{1}{{x+4}} - 1
\]

Теперь, чтобы найти значения \(x\), где производная равна 0, приравняем \(f"(x)\) к 0 и решим уравнение:

\[
\frac{1}{{x+4}} - 1 = 0
\]

Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

\[
\frac{1}{{x+4}} = 1
\]

Перевернем обе стороны уравнения:

\[
x+4 = 1
\]

Вычтем 4 из обеих сторон:

\[
x = -3
\]

Таким образом, при \(x = -3\) производная функции \(f(x) = \ln(x+4) - x\) равна 0.

2) По аналогии, для функции \(f(x) = 4\ln(x-4) - 2x\) мы найдем производную:

\[
f"(x) = \frac{4}{{x-4}} - 2
\]

Теперь приравняем \(f"(x)\) к 0 и решим уравнение:

\[
\frac{4}{{x-4}} - 2 = 0
\]

Добавим 2 к обеим сторонам уравнения:

\[
\frac{4}{{x-4}} = 2
\]

Перевернем обе стороны уравнения:

\[
x-4 = 2
\]

Прибавим 4 к обеим сторонам:

\[
x = 6
\]

Таким образом, при \(x = 6\) производная функции \(f(x) = 4\ln(x-4) - 2x\) равна 0.

3) Для функции \(f(x) = x^2 + 6x - 8\ln(x)\) мы также найдем производную:

\[
f"(x) = 2x + 6 - \frac{8}{{x}}
\]

Приравняем \(f"(x)\) к 0 и решим уравнение:

\[
2x + 6 - \frac{8}{{x}} = 0
\]

Умножим каждый член уравнения на \(x\), чтобы избавиться от дроби:

\[
2x^2 + 6x - 8 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

Где \(a = 2\), \(b = 6\) и \(c = -8\).

Подставим значения и решим:

\[
x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot -8}}}}{{2 \cdot 2}}
\]

Упростим подкоренное выражение:

\[
x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{36 + 64}}}}{{4}}
\]

Далее:

\[
x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{100}}}}{{4}}
\]

\[
x = \frac{{-6 \pm 10}}{{4}}
\]

Таким образом, у нас два возможных значения \(x\):

\[
x_1 = \frac{{-6 + 10}}{{4}} = \frac{4}{4} = 1
\]

\[
x_2 = \frac{{-6 - 10}}{{4}} = \frac{-16}{4} = -4
\]

Таким образом, при \(x = 1\) и \(x = -4\) производная функции \(f(x) = x^2 + 6x - 8\ln(x)\) равна 0.

Вот и все! Мы определили значения \(x\), при которых производная функции равна 0 для каждой из предложенных функций.