Определите массу шарика, если доска массой 0,4 кг подвешена к потолку на шарнирном стержне и на нее налетает

Zvonkiy_Spasatel_908

52

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Давайте начнем.

1. Первым шагом нужно найти изменение кинетической энергии системы после столкновения шарика с доской. Мы знаем, что изменение кинетической энергии равно работе сил, действующих на систему. В данном случае, работа сил трения равна нулю (так как нет горизонтального перемещения), поэтому работу силы тяжести будем считать единственной работой. Работа силы тяжести определяется как \( A = mgh \), где \( m \) - масса доски, \( g \) - ускорение свободного падения, \( h \) - высота поднятия доски. Мы знаем, что повысилась потенциальная энергия доски на высоту \( h \), следовательно, изменение кинетической энергии системы равно изменению потенциальной энергии dоски: \( \Delta K = \Delta U = mgh \).

2. Вторым шагом нужно найти изменение импульса шарика после столкновения. Мы знаем, что начальный импульс шарика \( p_1 \) равен произведению его массы \( m_1 \) на скорость \( v_1 \), а конечный импульс шарика \( p_2 \) равен произведению его массы \( m_1 + m_2 \) на скорость \( v_2 \), где \( m_2 \) - масса доски. Из закона сохранения импульса следует, что начальный импульс равен конечному: \( p_1 = p_2 \). Распишем это уравнение:
\[ m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot v_2 \]
\[ m_1 \cdot v_1 = m_1 \cdot v_2 + m_2 \cdot v_2 \]
\[ m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_2 \]
\[ v_1 = v_2 + \frac{m_2}{m_1} \cdot v_2 \]
\[ v_1 = v_2 \cdot \left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right) \]

3. Третьим шагом нужно выразить скорость шарика \( v_2 \) через заданные в условии данные. Мы знаем, что кинетическая энергия равна половине произведения массы на квадрат скорости: \( K = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \). По условию задачи, после столкновения кинетическая энергия шарика и доски составляет 0,25 Дж, следовательно:
\[ \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot v_2^2 = 0,25 \]

4. Четвертым шагом найдем скорость шарика перед ударом \( v_1 \). Из рисунка видно, что скорость шарика перед ударом направлена под углом 60° к нормали к доске. Мы можем разложить эту скорость на горизонтальную и вертикальную компоненты. Горизонтальная компонента будет равна \( v_1 \cdot \cos{60°} \), а вертикальная компонента будет равна \( v_1 \cdot \sin{60°} \).
\[ v_1 \cdot \sin{60°} = v_2 \]
\[ v_1 = \frac{v_2}{\sin{60°}} \]

5. Пятым шагом найдем массу шарика \( m_1 \). Для этого подставим выражения для \( v_1 \) и \( v_2 \) в уравнение из пункта 3 и решим его:
\[ \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot \left(\frac{v_2}{\sin{60°}}\right)^2 = 0,25 \]
\[ (m_1 + m_2) \cdot \frac{v_2^2}{2 \cdot \sin^2{60°}} = 0,25 \]
\[ (m_1 + m_2) \cdot \frac{v_2^2}{2 \cdot \frac{3}{4}} = 0,25 \]
\[ (m_1 + m_2) \cdot \frac{2}{3} \cdot v_2^2 = 0,25 \]
\[ (m_1 + m_2) \cdot v_2^2 = \frac{0,25 \cdot 3}{2} \]
\[ (m_1 + m_2) \cdot v_2^2 = 0,375 \]

6. Шестым шагом найдем массу шарика \( m_1 \):
\[ m_1 = \frac{0,375}{v_2^2} - m_2 \]

Таким образом, мы найдем массу шарика \( m_1 \) с помощью вышеуказанных шагов. Пожалуйста, используйте данные из условия задачи для окончательных расчетов.