Определите объем тела, которое образуется при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс. Трапеция ограничена

Романовна

17

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для объема тела, образованного вращением кривой вокруг оси абсцисс. Давайте разобьем задачу на следующие шаги:

Шаг 1: Найдем выражение для функции \(y(x)\), описывающей кривую нашей криволинейной трапеции.

Из условия задачи, у нас есть кривые \(y = \sqrt{x}\), \(y = 0\), \(x = 1\) и \(x = 4\). Заметим, что кривая \(y = \sqrt{x}\) ограничивает наше тело сверху, а \(y = 0\) - снизу. Таким образом, высота нашей трапеции будет \(h = \sqrt{x}\).

Выпишем уравнения этих кривых:
- Верхняя граница: \(y = \sqrt{x}\)
- Нижняя граница: \(y = 0\)

Шаг 2: Найдем выражение для радиуса \(r(x)\) при вращении трапеции вокруг оси абсцисс.

Радиусом при вращении трапеции вокруг оси абсцисс будет расстояние от оси абсцисс до границы трапеции, т.е. половина высоты трапеции. Таким образом, радиус будет равен \(r = \frac{h}{2} = \frac{\sqrt{x}}{2}\).

Шаг 3: Выразим радиус \(r\) через переменную \(x\) и найдем пределы интегрирования.

Мы знаем, что \(x\) меняется от 1 до 4, так что пределы интегрирования будут от 1 до 4.

Шаг 4: Найдем интеграл для вычисления объема тела.

Теперь мы можем найти объем тела, используя следующую формулу интеграла:
\[V = \pi \int_{1}^{4} (r(x))^2 dx\]

Подставим выражение для \(r(x)\):
\[V = \pi \int_{1}^{4} \left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^2 dx\]

Решим этот интеграл:
\[V = \pi \int_{1}^{4} \frac{x}{4} dx\]
\[V = \pi \left[\frac{x^2}{8}\right]_{1}^{4}\]
\[V = \pi \left(\frac{4^2}{8} - \frac{1^2}{8}\right)\]
\[V = \pi \left(\frac{16}{8} - \frac{1}{8}\right)\]
\[V = \pi \cdot \frac{15}{8}\]

Шаг 5: Вычислим объем тела.

Таким образом, объем тела, образовавшегося при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, равен \(\frac{15}{8}\pi\).

Шаг 6: Найдем путь \(s\), пройденный точкой за 10 секунд от начала движения.

Используя формулу \(s = \int_{0}^{10} v(t) dt\), где \(v(t) = 3t^2 + 2t + 1\), вычислим путь:
\[s = \int_{0}^{10} (3t^2 + 2t + 1) dt\]
\[s = \left[t^3 + t^2 + t\right]_{0}^{10}\]
\[s = (10^3 + 10^2 + 10) - (0^3 + 0^2 + 0)\]
\[s = (1000 + 100 + 10) - 0\]
\[s = 1110\text{ м}\]

Таким образом, точка пройдет 1110 метров за 10 секунд.

Надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам понять задачу и все вычисления. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь!