Определите показания вольтметра, если имеется идеальная батарейка с напряжением 9 В, два резистора с сопротивлением

Тимка

46

Чтобы решить данную задачу, мы будем использовать законы Кирхгофа и формулу для расчета параллельного соединения резисторов.

Согласно закону Кирхгофа о сумме напряжений в замкнутом контуре, сумма напряжений на резисторах должна быть равна напряжению идеальной батарейки. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\[U_{\text{бат}} = U_1 + U_2\]

где \(U_{\text{бат}}\) - напряжение идеальной батарейки, \(U_1\) и \(U_2\) - напряжения на резисторах.

Также, для параллельного соединения резисторов, сумма обратных сопротивлений равна обратному сопротивлению их эквивалентного резистора. Формула для расчета эквивалентного сопротивления в таком случае будет выглядеть следующим образом:

\[\frac{1}{R_{\text{экв}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\]

где \(R_{\text{экв}}\) - эквивалентное сопротивление, \(R_1\) и \(R_2\) - сопротивления резисторов.

Сначала рассчитаем эквивалентное сопротивление резисторов для каждого из трех значений R.

1) При \(R = 60 \, \text{Ом}\):

\[\frac{1}{R_{\text{экв}}} = \frac{1}{60} + \frac{1}{6 \, \text{кОм}} = \frac{1}{60} + \frac{1}{6000} = \frac{100 + 1}{6000} = \frac{101}{6000}\]

\[R_{\text{экв}} = \frac{6000}{101} \approx 59.41 \, \text{Ом}\]

Теперь мы можем рассчитать напряжение на вольтметре:

\[U_1 = U_{\text{бат}} \cdot \frac{R_{\text{экв}}}{R_{\text{экв}} + R} = 9 \, \text{В} \cdot \frac{59.41 \, \text{Ом}}{59.41 \, \text{Ом} + 60 \, \text{Ом}}\]

\[U_1 \approx 4.499 \, \text{В}\]

\[U_2 = U_{\text{бат}} - U_1 = 9 \, \text{В} - 4.499 \, \text{В}\]

\[U_2 \approx 4.501 \, \text{В}\]

Значение показаний вольтметра будет равно напряжению на резисторе, к которому он подключен, то есть \(U_2 \approx 4.501 \, \text{В}\).

2) При \(R = 600 \, \text{Ом}\):

Рассчет эквивалентного сопротивления:

\[\frac{1}{R_{\text{экв}}} = \frac{1}{600} + \frac{1}{6 \, \text{кОм}} = \frac{1}{600} + \frac{1}{6000} = \frac{11}{6000}\]

\[R_{\text{экв}} = \frac{6000}{11} \approx 545.45 \, \text{Ом}\]

Рассчет напряжений:

\[U_1 = U_{\text{бат}} \cdot \frac{R_{\text{экв}}}{R_{\text{экв}} + R} = 9 \, \text{В} \cdot \frac{545.45 \, \text{Ом}}{545.45 \, \text{Ом} + 600 \, \text{Ом}}\]

\[U_1 \approx 4.090 \, \text{В}\]

\[U_2 = U_{\text{бат}} - U_1 = 9 \, \text{В} - 4.090 \, \text{В}\]

\[U_2 \approx 4.910 \, \text{В}\]

Значение показаний вольтметра будет равно напряжению на резисторе, к которому он подключен, то есть \(U_2 \approx 4.910 \, \text{В}\).

3) При \(R = 6 \, \text{кОм}\):

Рассчет эквивалентного сопротивления:

\[\frac{1}{R_{\text{экв}}} = \frac{1}{6 \, \text{кОм}} + \frac{1}{6 \, \text{кОм}} = \frac{2}{6 \, \text{кОм}} = \frac{2}{6000}\]

\[R_{\text{экв}} = \frac{6000}{2} = 3000 \, \text{Ом}\]

Рассчет напряжений:

\[U_1 = U_{\text{бат}} \cdot \frac{R_{\text{экв}}}{R_{\text{экв}} + R} = 9 \, \text{В} \cdot \frac{3000 \, \text{Ом}}{3000 \, \text{Ом} + 6 \, \text{кОм}}\]

\[U_1 \approx 2.25 \, \text{В}\]

\[U_2 = U_{\text{бат}} - U_1 = 9 \, \text{В} - 2.25 \, \text{В}\]

\[U_2 \approx 6.75 \, \text{В}\]

Значение показаний вольтметра будет равно напряжению на резисторе, к которому он подключен, то есть \(U_2 \approx 6.75 \, \text{В}\).

Таким образом, ответы на задачу составляют:

При \(R = 60 \, \text{Ом}\): \(4.501 \, \text{В}\)
При \(R = 600 \, \text{Ом}\): \(4.910 \, \text{В}\)
При \(R = 6 \, \text{кОм}\): \(6.75 \, \text{В}\)