Определите предел функции, давая подробное описание процесса решения (дополнительно укажите используемые формулы

Софья_23

42

Конечно! Я могу помочь с определением предела функции. Пожалуйста, предоставьте мне функцию, для которой вы хотите определить предел, и я смогу дать подробное решение с обоснованиями и пошаговым решением.

Например, давайте рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{{x^2 - 1}}{{x - 1}}\). Чтобы найти предел этой функции при \(x\) стремящемся к 1, мы можем использовать алгебраические преобразования, подставления и применение теорем о пределах.

Шаг 1: Попробуем просто подставить \(x = 1\) в функцию и посмотреть, что получится:
\[f(1) = \frac{{1^2 - 1}}{{1 - 1}} = \frac{0}{0}\]

Заметим, что мы получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Это означает, что прямое подстановка не дает нам ответа на вопрос о пределе функции.

Шаг 2: Попробуем упростить функцию, чтобы избавиться от неопределенности. Для этого мы можем применить алгебраическое преобразование и факторизовать числитель:
\[f(x) = \frac{{x^2 - 1}}{{x - 1}} = \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}}\]

Заметим, что в числителе и знаменателе есть \((x - 1)\), которые можно сократить:
\[f(x) = \frac{{\cancel{(x - 1)}(x + 1)}}{{\cancel{x - 1}}} = x + 1\]

Шаг 3: Теперь, когда мы получили упрощенную функцию \(f(x) = x + 1\), мы можем попробовать подставить \(x = 1\) и определить предел:
\[f(1) = 1 + 1 = 2\]

Окончательный ответ: Предел функции \(f(x) = \frac{{x^2 - 1}}{{x - 1}}\) при \(x\) стремящемся к 1 равен 2. Мы получили этот ответ, применив алгебраические преобразования, сократив неопределенность и применив простую подстановку.

Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас есть еще вопросы по этой задаче или если есть что-то еще, с чем я могу помочь!