Какое наименьшее значение принимает функция y = (x-12)e в степени (x-11) на интервале

Белка

31

Чтобы найти наименьшее значение функции \(y = (x-12)e^{(x-11)}\) на данном интервале, мы должны использовать метод дифференциального исчисления.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = (x-12)e^{(x-11)} + e^{(x-11)}(x-11)
\]

Шаг 2: Уравняем производную функции \(y\) равной нулю и решим это уравнение относительно \(x\):
\[
(x-12)e^{(x-11)} + e^{(x-11)}(x-11) = 0
\]

Шаг 3: Решим уравнение. Для этого можно привести его к более простому виду. Вынесем общий множитель \(e^{(x-11)}\) из обоих слагаемых:
\[
e^{(x-11)}((x-12) + (x-11)) = 0
\]

\[
e^{(x-11)}(2x - 23) = 0
\]

Теперь рассмотрим две возможные ситуации:

Ситуация 1: \(e^{(x-11)} = 0\)

Это невозможно, так как экспонента всегда положительна.

Ситуация 2: \(2x - 23 = 0\)

Тогда получаем, что \(x = \frac{23}{2} = 11.5\).

Шаг 4: Подставим найденное значение \(x = 11.5\) в исходную функцию \(y = (x-12)e^{(x-11)}\) и вычислим \(y\) в этой точке:
\[
y = (11.5-12)e^{(11.5-11)}
\]

Чтобы найти точное значение, нам понадобится калькулятор или программное обеспечение для вычисления. Приближенно, значение равно:
\[
y \approx -0.60653
\]

Таким образом, наименьшее значение функции \(y = (x-12)e^{(x-11)}\) на интервале равно приблизительно \(-0.60653\) при \(x = 11.5\).