Определите выпуклость функции f(x) = x^6/30-3x^4

Людмила

67

Для определения выпуклости функции f(x), нам понадобится проанализировать ее вторую производную. Если вторая производная всюду положительна (или всюду отрицательна), то функция является выпуклой (или вогнутой). Если вторая производная меняет знак, то функция имеет точку перегиба и не является ни выпуклой, ни вогнутой.

Давайте начнем с нахождения первой и второй производных функции f(x):

Первая производная f"(x):
\[f"(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^6}{30} - 3x^4\right)\]
\[f"(x) = \frac{1}{30} \cdot \frac{d}{dx} (x^6) - \frac{d}{dx} (3x^4)\]
\[f"(x) = \frac{1}{30} \cdot 6x^5 - 12x^3\]
\[f"(x) = \frac{6x^5}{30} - \frac{12x^3}{1}\]
\[f"(x) = \frac{x^5}{5} - 12x^3\]

Теперь найдем вторую производную f""(x):
\[f""(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^5}{5} - 12x^3\right)\]
\[f""(x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{dx} (x^5) - \frac{d}{dx} (12x^3)\]
\[f""(x) = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 - \frac{d}{dx} (12x^3)\]
\[f""(x) = x^4 - \frac{d}{dx} (12x^3)\]
\[f""(x) = x^4 - 36x^2\]

Теперь мы можем проанализировать знак второй производной, чтобы определить выпуклость функции f(x).

Если \(f""(x) > 0\) на всем указанном диапазоне, функция f(x) будет выпуклой.
Если \(f""(x) < 0\) на всем указанном диапазоне, функция f(x) будет вогнутой.
Если \(f""(x) = 0\) в некоторых точках, то у функции может быть точка перегиба.

Вычислим значения функции f""(x) для определения знака нашей функции:

\[f""(x) = x^4 - 36x^2\]

Чтобы найти значения x, при которых \(f""(x) = 0\), решим уравнение:

\[x^4 - 36x^2 = 0\]

Факторизуем его:

\[x^2(x^2 - 36) = 0\]

Выражение \(x^2 - 36\) можно факторизовать еще дальше:

\((x - 6)(x + 6) = 0\)

Таким образом, получаем две точки перегиба: x = -6 и x = 6.

Теперь мы можем построить знаковую диаграмму второй производной, чтобы определить выпуклость функции на каждом интервале:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & -\infty < x < -6 & -6 < x < 6 & 6 < x < \infty \\
\hline
f""(x) & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Итак, на интервалах \(-\infty < x < -6\) и \(6 < x < \infty\) вторая производная \(f""(x)\) положительна, что означает, что функция f(x) выпукла на этих интервалах.

На интервале \(-6 < x < 6\) вторая производная \(f""(x)\) отрицательна, что означает, что функция f(x) вогнута на этом интервале.

Таким образом, функция \(f(x) = \frac{x^6}{30}-3x^4\) является выпуклой на интервалах \(-\infty < x < -6\) и \(6 < x < \infty\), а на интервале \(-6 < x < 6\) является вогнутой. Также у функции есть точки перегиба при \(x = -6\) и \(x = 6\).

Я надеюсь, что эта подробная информация поможет вам лучше понять выпуклость функции \(f(x)\). Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.