Определите значение параметра a, при котором наибольшее значение функции y=ax^{2} +4x+a будет равно

Марго

18

Поставленная задача требует определить значение параметра \(a\), при котором наибольшее значение функции \(y = ax^{2} + 4x + a\) будет равно.

Для того чтобы решить данную задачу, мы можем использовать понятие вершины параболы. Вершина параболы является точкой, в которой она достигает своего экстремального значения. Для параболы вида \(y = ax^{2} + bx + c\), координаты вершины можно найти по формулам:

\[x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a}\]
\[y_{\text{вершины}} = f(x_{\text{вершины}}) = a \left(-\frac{b}{2a}\right)^{2} + b \left(-\frac{b}{2a}\right) + c\]

В данном случае, наша функция \(y = ax^{2} + 4x + a\) имеет параметр \(a\) вместо конкретного значения \(c\). Поэтому, мы должны найти такое значение параметра \(a\), при котором функция достигнет своего максимального значения \(y\).

Используя формулы для нахождения координат вершины параболы, получим:
\[x_{\text{вершины}} = -\frac{4}{2a} = -\frac{2}{a}\]
\[y_{\text{вершины}} = f(x_{\text{вершины}}) = a \left(-\frac{2}{a}\right)^{2} + 4 \left(-\frac{2}{a}\right) + a = a \cdot \frac{4}{a^{2}} - \frac{8}{a} + a = \frac{4}{a} - \frac{8}{a} + a = \frac{4 - 8a + a^{2}}{a}\]

Известно, что максимальное значение функции достигается вверху параболы, то есть в максимальной точке. Для того чтобы определить значение параметра \(a\), при котором функция достигнет своего максимального значения, мы должны найти максимальное значение экспрессии \(\frac{4 - 8a + a^{2}}{a}\).

Для этого, мы можем воспользоваться производной функции и приравнять ее к нулю:
\[\frac{d}{da} \left(\frac{4 - 8a + a^{2}}{a}\right) = 0\]

Рассчитаем производную:
\[\frac{d}{da} \left(\frac{4 - 8a + a^{2}}{a}\right) = \frac{(2a - 8) \cdot a - (4 - 8a + a^{2})}{a^{2}} = \frac{-a^{2} - 8a + 16}{a^{2}}\]

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
\[\frac{-a^{2} - 8a + 16}{a^{2}} = 0\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[-a^{2} - 8a + 16 = 0\]

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
\[a^{2} + 8a - 16 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного трехчлена или квадратного уравнения. Однако, для нашей цели, нам необязательно искать точные значения \(a\). Мы можем просто найти регион значений параметра \(a\), при которых функция достигает своего максимального значения.

Применим метод дискриминанта, чтобы определить характеристики корней уравнения:
\[D = b^{2} - 4ac = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 64 + 64 = 128\]

Так как дискриминант \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня. Из этого следует, что существуют два значения параметра \(a\), при которых функция достигает своего максимального значения. Для определения этих значений, мы можем найти корни уравнения:

\[a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{-8 \pm 8\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 4\sqrt{2}\]

Таким образом, значения параметра \(a\), при которых функция достигает своего максимального значения, равны \(a_{1} = -4 + 4\sqrt{2}\) и \(a_{2} = -4 - 4\sqrt{2}\).

Итак, мы получили два значения параметра \(a\), при которых функция \(y = ax^{2} + 4x + a\) достигает наибольшего значения. Они равны \(a_{1} = -4 + 4\sqrt{2}\) и \(a_{2} = -4 - 4\sqrt{2}\).

Надеюсь, данное пошаговое объяснение помогло вам понять, как найти значение параметра \(a\) при данной задаче. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать! Я всегда готов помочь.