Отцентрируйте начало координат и определите точку пересечения перпендикуляра с прямой, заданной уравнением

Осень

42

Для начала, давайте определим точку пересечения перпендикуляра с прямой, заданной уравнением \(x-5/4=y-2/3=z-1/-2\).

Для этого нам понадобится найти направляющий вектор прямой. В данном случае, направляющий вектор равен \(\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ -\frac{5}{4} \\ -\frac{2}{3} \end{bmatrix}\).

Теперь, перенесем начало координат в новую систему отсчета. Пусть новые координаты будут \((x", y", z")\). Для этого мы должны вычесть координаты начала координат из исходных координат:

\[
\begin{aligned}
x" &= x - 0 = x \\
y" &= y - 0 = y \\
z" &= z - 0 = z
\end{aligned}
\]

После получения новых координат, начало координат будет находиться в точке \((0,0,0)\).

Теперь мы можем найти уравнение перпендикуляра. Зная направляющий вектор прямой и координаты начала координат, уравнение перпендикуляра имеет вид:

\[
\begin{aligned}
x" &= 0 + t \cdot 1 \\
y" &= 0 + t \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) \\
z" &= 0 + t \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)
\end{aligned}
\]

где \(t\) - некоторый параметр.

Теперь найдем точку пересечения перпендикуляра с прямой, заданной исходным уравнением.

Подставим полученные уравнения перпендикуляра в исходное уравнение:

\[
\begin{aligned}
x - \frac{5}{4} &= y - \frac{2}{3} \\
x - \frac{5}{4} &= \left(-\frac{5}{4}\right) t - \frac{2}{3} \\
x &= \left(-\frac{5}{4}\right) t + \frac{5}{4} \\
y &= \left(-\frac{5}{4}\right) t + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \\
z &= \left(-\frac{5}{4}\right) t + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}
\end{aligned}
\]

Получаем координаты точки пересечения перпендикуляра с прямой:

\[
\begin{aligned}
x &= \left(-\frac{5}{4}\right) t + \frac{5}{4} \\
y &= \left(-\frac{5}{4}\right) t + \frac{4}{3} \\
z &= \left(-\frac{5}{4}\right) t + \frac{5}{6}
\end{aligned}
\]

Таким образом, точка пересечения перпендикуляра с прямой имеет координаты \(\left(\left(-\frac{5}{4}\right) t + \frac{5}{4}, \left(-\frac{5}{4}\right) t + \frac{4}{3}, \left(-\frac{5}{4}\right) t + \frac{5}{6}\right)\), где \(t\) - параметр.