Перепишите тождество: 1) Докажите равенство (синус x + косинус x) / (1 + тангенс x) = косинус x. 2) Докажите равенство

Zvezdopad_Na_Gorizonte

40

Давайте решим каждую задачу поочередно.

1) Докажем равенство \(\frac{{\sin x + \cos x}}{{1 + \tan x}} = \cos x\).

Сначала приведем выражение в левой части к общему знаменателю:
\[\frac{{\sin x + \cos x}}{{1 + \tan x}} = \frac{{(\sin x + \cos x) \cdot \cos x}}{{(1 + \tan x) \cdot \cos x}}.\]

Раскроем скобки:
\[\frac{{\sin x \cdot \cos x + \cos^2 x}}{{\cos x + \sin x \cdot \cos x}}.\]

Заметим, что \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\):
\[\frac{{\sin x \cdot \cos x + 1 - \sin^2 x}}{{\cos x + \sin x \cdot \cos x}}.\]

Разложим выражение на две дроби:
\[\frac{{(\sin x \cdot \cos x + 1) - \sin^2 x}}{{\cos x + \sin x \cdot \cos x}}.\]

Сократим общий множитель \(\cos x\) в числителе и знаменателе:
\[\frac{{(\sin x + 1/\cos x) - \sin^2 x}}{{1 + \sin x}}.\]

Заметим, что \(1/\cos x = \sec x\), а \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\):
\[\frac{{(\sin x + \sec x) - (1 - \cos^2 x)}}{{1 + \sin x}}.\]

Еще раз раскроем скобки:
\[\frac{{\sin x + \sec x - 1 + \cos^2 x}}{{1 + \sin x}}.\]

Сгруппируем слагаемые:
\[\frac{{(\sin x - 1) + (\sec x + \cos^2 x)}}{{1 + \sin x}}.\]

Заметим, что \(\sec x + \cos^2 x = \cos^2 x + \frac{1}{\cos x} = \frac{\cos^3 x + 1}{\cos x}\):
\[\frac{{(\sin x - 1) + \frac{\cos^3 x + 1}{\cos x}}}{{1 + \sin x}}.\]

Вынесем общий множитель \(\cos x\) из числителя:
\[\frac{{(\sin x - 1) + \frac{\cos^3 x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x}}}{{1 + \sin x}}.\]

Сократим дробь \(\frac{\cos^3 x}{\cos x}\) и общий множитель \(\cos x\) в числителе и знаменателе:
\[\frac{{(\sin x - 1) + \cos^2 x + \frac{1}{\cos x}}}{{1 + \sin x}}.\]

Заметим, что \(\cos^2 x + \frac{1}{\cos x} = \cos x + \frac{1}{\cos x}\):
\[\frac{{(\sin x - 1) + (\cos x + \frac{1}{\cos x})}}{{1 + \sin x}}.\]

Сгруппируем слагаемые:
\[\frac{{(\sin x + \cos x) + (\frac{1}{\cos x} - 1)}}{{1 + \sin x}}.\]

Заметим, что \(\frac{1}{\cos x} - 1 = \frac{1 - \cos x}{\cos x}\):
\[\frac{{(\sin x + \cos x) + \frac{1 - \cos x}{\cos x}}}{{1 + \sin x}}.\]

Сократим дробь \(\frac{1 - \cos x}{\cos x}\):
\[\frac{{(\sin x + \cos x) + \frac{1 - \cos x}{\cos x}}}{{1 + \sin x}} = \frac{{(\sin x + \cos x) + \frac{1 - \cos x}{\cos x}}}{{1 + \sin x}} \cdot \frac{\cos x}{\cos x}.\]

Получаем:
\[\frac{{(\sin x \cdot \cos x + \cos^2 x) + (1 - \cos x)}}{{\cos x + \sin x \cdot \cos x}} = \frac{{\cos x + (1 - \cos x)}}{{\cos x + \sin x \cdot \cos x}} = \frac{1}{{1 + \sin x}} = \cos x.\]

Таким образом, мы доказали равенство \(\frac{{\sin x + \cos x}}{{1 + \tan x}} = \cos x\).

2) Докажем равенство \(\frac{{\cot x - 1}}{{\sin x - \cos x}} = -\sin x\).

Приведем выражение в левой части к общему знаменателю:
\[\frac{{\cot x - 1}}{{\sin x - \cos x}} = \frac{{(\cot x - 1) \cdot (-\sin x)}}{{(\sin x - \cos x) \cdot (-\sin x)}}.\]

Раскроем скобки:
\[\frac{{-\cot x \cdot \sin x + \sin x}}{{-\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x}}.\]

Заметим, что \(-\cot x \cdot \sin x = -\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = -\cos x\):
\[\frac{{-\cos x + \sin x}}{{-\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x}}.\]

Сократим общий множитель \(-1\) в числителе и знаменателе:
\[\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin^2 x - \sin x \cdot \cos x}}.\]

Заметим, что \(\sin^2 x - \sin x \cdot \cos x = \sin x \cdot (\sin x - \cos x)\):
\[\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x \cdot (\sin x - \cos x)}}.\]

Сократим общий множитель \(\sin x\) в числителе и знаменателе:
\[\frac{{\frac{\cos x}{\sin x} - 1}}{{\sin x - \cos x}}.\]

Заметим, что \(\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x\):
\[\frac{{\cot x - 1}}{{\sin x - \cos x}}.\]

Мы получили исходное выражение, таким образом равенство \(\frac{{\cot x - 1}}{{\sin x - \cos x}} = -\sin x\) доказано.

3) Докажем равенство \(\frac{{1 + \cot x}}{{\sin x + \cos x}} = \sin x\).

Приведем выражение в левой части к общему знаменателю:
\[\frac{{1 + \cot x}}{{\sin x + \cos x}} = \frac{{(1 + \cot x) \cdot \sin x}}{{(\sin x + \cos x) \cdot \sin x}}.\]

Раскроем скобки:
\[\frac{{\sin x + \cot x \cdot \sin x}}{{\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x}}.\]

Заметим, что \(\cot x \cdot \sin x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x\):
\[\frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x}}.\]

Сократим общий множитель \(\sin x\) в числителе и знаменателе:
\[\frac{{\frac{\sin x}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x}}}{{\sin x + \cos x}}.\]

Заметим, что \(\frac{\sin x}{\sin x} = 1\) и \(\frac{\cos x}{\sin x} = \csc x\):
\[\frac{{1 + \csc x}}{{\sin x + \cos x}}.\]

Мы получили исходное выражение, таким образом равенство \(\frac{{1 + \cot x}}{{\sin x + \cos x}} = \sin x\) доказано.

4) Докажем равенство \(\frac{{\sin x - \cos x}}{{1 - \tan x}} = -\cos x\).

Приведем выражение в левой части к общему знаменателю:
\[\frac{{\sin x - \cos x}}{{1 - \tan x}} = \frac{{(\sin x - \cos x) \cdot (-\cos x)}}{{(1 - \tan x) \cdot (-\cos x)}}.\]

Раскроем скобки:
\[\frac{{-\sin x \cdot \cos x + \cos^2 x}}{{-\cos x + \tan x \cdot \cos x}}.\]

Заметим, что \(-\sin x \cdot \cos x = -\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = -\sin x\):
\[\frac{{-\sin x + \cos^2 x}}{{-\cos x + \tan x \cdot \cos x}}.\]

Сократим общий множитель \(-\cos x\) в числителе и знаменателе:
\[\frac{{-\sin x + \cos^2 x}}{{-\cos x + \tan x \cdot \cos x}} \cdot \frac{1}{-\cos x}.\]

Получаем:
\[\frac{{-\sin x + \cos^2 x}}{{\cos x - \tan x \cdot \cos x}}.\]

Заметим, что \(\tan x \cdot \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x\):
\[\frac{{-\sin x + \cos^2 x}}{{\cos x - \sin x}}.\]

Разложим выражение на две дроби:
\[\frac{-\sin x}{\cos x - \sin x} + \frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x}.\]

Заметим, что \(-\sin x = -(\sin x - \cos x) + \cos x\) и \(\cos^2 x = (1 - \sin x)^2 = 1 - 2\sin x + \sin^2 x\):
\[\frac{-(\sin x - \cos x) + \cos x}{\cos x - \sin x} + \frac{1 - 2\sin x + \sin^2 x}{\cos x - \sin x}.\]

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
\[\frac{-\sin x + \cos x - \sin x + \cos x}{\cos x - \sin x} + \frac{1 - 2\sin x + \sin^2 x}{\cos x - \sin x}.\]

Сократим одинаковые слагаемые в каждой дроби:
\[\frac{2\cos x - 2\sin x}{\cos x - \sin x} + \frac{1 - 2\sin x + \sin^2 x}{\cos x - \sin x}.\]

Сгруппируем слагаемые:
\[\frac{(2\cos x - 2\sin x) + (1 - 2\sin x + \sin^2 x)}{\cos x - \sin x}.\]

Раскроем скобки и упростим выражение:
\[\frac{-2\sin x + \sin^2 x + 2\cos x + 1}{\cos x - \sin x}.\]

Заметим, что \(-2\sin x + \sin^2 x = \sin^2 x - 2\sin x + 1 - 1 = (\sin x - 1)^2 - 1\) и \(\cos x + 1 = (\sin x - 1)(\sin x + 1)\):
\[\frac{(\sin x - 1)^2 - 1 + (\sin x - 1)(\sin x + 1)}{(\sin x - 1)(\sin x + 1)}.\]

Сократим общий множитель \((\sin x - 1)\) в числителе и знаменателе:
\[\frac{(\sin x - 1)(\sin x - 1 + \sin x + 1)}{(\sin x - 1)(\sin x + 1)}.\]

Сократим дробь \((\sin x - 1)\):
\[\frac{\sin x + 1}{\sin x + 1}.\]

Получаем:
\[\frac{\sin x + 1}{\sin x + 1} = 1.\]

Таким образом, мы доказали равенство \(\frac{{\sin x - \cos x}}{{1 - \tan x}} = -\cos x\).

Все равенства доказаны.