Под каким наименьшим углом a должны двигаться два тела массой m=2кг каждое, движущиеся с одинаковой скоростью v=8м/с

Morskoy_Iskatel

2

Для решения данной задачи обратимся к закону сохранения механической энергии. При абсолютно упругом соударении двух тел, их кинетическая энергия до соударения полностью превращается в энергию деформации тел, а затем снова в кинетическую энергию после соударения.

Изначально, движущиеся тела имеют одинаковую кинетическую энергию \( E_{\text{к}} = \frac{1}{2} m v^2 \), где \( m \) - масса тела (2 кг), а \( v \) - скорость тела (8 м/с). Так как энергия упруго деформированных тел должна быть не менее 32 Дж, то суммарная кинетическая энергия после соударения должна быть равной 32 Дж.

После соударения, кинетическая энергия тела можно выразить следующей формулой:
\[ E_{\text{к}} = \frac{1}{2} m v_{\text{т}}^2 \]

Где \( v_{\text{т}} \) - скорость тела после соударения.

Таким образом, у нас есть два тела, двигающихся друг к другу, поэтому воспользуемся знанием о законе сохранения импульса. Сумма начальных импульсов должна быть равна сумме конечных импульсов:
\[ m \cdot v + m \cdot (-v) = m \cdot v_{\text{т}} + m \cdot (-v_{\text{т}}) \]
\[ v_{\text{т}} = \frac{m \cdot v + m \cdot (-v)}{m + m} \]
\[ v_{\text{т}} = \frac{m \cdot (v - v)}{2m} \]
\[ v_{\text{т}} = 0 \]

После соударения скорость тела становится равной нулю, поскольку они остановятся.

Теперь, для вычисления наименьшего угла \( a \), под которым тела должны двигаться, можем воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике. Пусть \( c \) - расстояние между центрами тел, \( b \) и \( b \) - радиусы тел, таким образом, можем записать формулу:
\[ c = 2b \cdot \cos a \]

Теперь, когда скорость тел стала равна нулю и энергия деформации тел полностью превратилась в энергию кинетическую энергию тел, можем записать:
\[ \frac{1}{2} k x^2 = E_{\text{к}} \]

Где \( k \) - коэффициент упругости, а \( x \) - смещение тел относительно равновесного положения.

Так как \( E_{\text{к}} = 32 \) Дж, а \( k \) можно представить в виде \( k = \frac{m \cdot v_{\text{т}}^2}{x^2} \), то решим это уравнение относительно \( x \):
\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{m \cdot v_{\text{т}}^2}{x^2} \cdot x^2 = 32 \]
\[ m \cdot v_{\text{т}}^2 = 64 \]
\[ 2 \cdot 8 \cdot 8 = 64 \]
\[ 128 = 64 \]
\[ x = \sqrt{2} \]

Теперь, когда \( x \) известно, можем вычислить \( c \):
\[ c = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos a \]

Из равенства \( c = 2b \cdot \cos a \) можем сделать вывод, что \( \cos a = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Мы знаем, что \( \cos (\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), поэтому наименьший угол \( a \) должен быть равен \( \pi/4 \) (или 45 градусов).

Таким образом, наименьший угол \( a \), под которым должны двигаться два тела массой 2 кг каждое, чтобы в результате их абсолютного соударения выделилось не менее 32 Дж энергии - равен 45 градусам.