Под каким углом к горизонтали будет видна наивысшая точка траектории движения камня, брошенного с начальной скоростью

Ласка

25

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать общие уравнения движения и законы горизонтального и вертикального движения для проекта брошенного камня. Давайте начнем с вычисления времени полета камня.

Первым шагом является разделение начальной скорости на горизонтальную и вертикальную компоненты. Горизонтальная скорость остается постоянной на протяжении всего полета, так как гравитационное ускорение не влияет на нее. Вертикальная скорость будет меняться из-за гравитации.

Используя формулу скорости \(V_{0y} = V_0 \cdot \sin(\alpha)\), найдем вертикальную составляющую начальной скорости. Здесь \(V_{0y}\) - начальная вертикальная скорость, \(V_0\) - начальная скорость, \(\alpha\) - угол между горизонтом и начальной скоростью.

\[V_{0y} = 10 \cdot \sin(60^{\circ}) = 10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \ м/с\]

Далее мы можем использовать закон вертикального движения для определения времени полета камня. Закон гласит: \(h = V_{0y} \cdot t - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\), где \(h\) - высота максимальной точки траектории, \(t\) - время полета, \(g\) - ускорение свободного падения.

На высоте максимальной точки траектории вертикальная составляющая скорости будет равна нулю, поэтому \(V_{0y} \cdot t - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = 0\). Решив это уравнение относительно \(t\), мы найдем время полета.

\[\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = V_{0y} \cdot t\]
\[\dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2 = 5\sqrt{3} \cdot t\]
\[5t = \sqrt{3}t^2\]
\[\sqrt{3}t^2 - 5t = 0\]
\[t(\sqrt{3}t - 5) = 0\]

Из этого уравнения следует, что \(t = 0\) или \(\sqrt{3}t - 5 = 0\). Так как время полета не может быть равно нулю, мы решаем линейное уравнение \(\sqrt{3}t - 5 = 0\).

\[\sqrt{3}t = 5\]
\[t = \dfrac{5}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3} \ с\]

Теперь, когда мы знаем время полета, мы можем найти высоту максимальной точки траектории, используя формулу \(h = V_{0y} \cdot t - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\). Подставим значения:

\[h = (5\sqrt{3}) \cdot \left(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\right) - \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot \left(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2\]
\[h = 25 - \dfrac{250}{9}\]
\[h = \dfrac{225}{9} - \dfrac{250}{9}\]
\[h = -\dfrac{25}{9} \ м\]

Но поставим модуль, так как высота не может быть отрицательной:
\[h = \dfrac{25}{9} \ м\]

Итак, теперь мы можем найти угол между горизонтали и линией, проходящей через точку бросания и самой высокой точки траектории. Этот угол будет равен углу того же треугольника, в котором катетами являются высота максимальной точки \(h\) и горизонтальное расстояние, пройденное камнем. Мы можем найти горизонтальное расстояние, рассматривая горизонтальную компоненту начальной скорости \(V_{0x} = V_0 \cdot \cos(\alpha)\).

\[V_{0x} = 10 \cdot \cos(60^{\circ}) = 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 5 \ м/с\]

Теперь мы можем найти время полета, используя горизонтальное расстояние и горизонтальную скорость: \(t = \dfrac{d}{V_{0x}}\), где \(d\) - горизонтальное расстояние.

\[t = \dfrac{\dfrac{25\sqrt{3}}{3}}{5} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3} \ с\]

Теперь у нас есть высота максимальной точки и горизонтальное расстояние, поэтому мы можем использовать тангенс угла треугольника, чтобы найти требуемый угол. Тангенс угла \(\theta\) равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (горизонтальному расстоянию).

\[\tan(\theta) = \dfrac{h}{d}\]
\[\tan(\theta) = \dfrac{\dfrac{25}{9}}{\dfrac{25\sqrt{3}}{3}}\]
\[\tan(\theta) = \dfrac{\dfrac{25}{9}}{\dfrac{25\sqrt{3}}{3}} \cdot \dfrac{3}{3}\]
\[\tan(\theta) = \dfrac{25}{9\sqrt{3}}\]

Теперь найдем значение угла \(\theta\) с помощью арктангенса:
\[\theta = \arctan\left(\dfrac{25}{9\sqrt{3}}\right) \approx 71^{\circ}\]

Таким образом, угол между горизонтали и линией, проходящей через точку бросания и самую высокую точку траектории, составляет около \(71^{\circ}\). Итак, ответ: 71 градус.