Под какими значениями натурального числа n выражение 45^n + 988 * 2^n делится на 2021? Пожалуйста, предоставьте

Chaynyy_Drakon

3

Итак, нам дано выражение \(45^n + 988 \cdot 2^n\) и нам нужно найти значения натурального числа \(n\), при которых это выражение делится на 2021. Давайте разберемся с этой задачей по шагам.

Шаг 1: Рассмотрим остатки от деления выражения \(45^n + 988 \cdot 2^n\) на 2021. Если остаток равен нулю, то значит выражение делится на 2021.

Шаг 2: Рассмотрим остатки при делении \(45^n\) и \(988 \cdot 2^n\) на 2021 по отдельности.

Для \(45^n\) применим малую теорему Ферма. Она утверждает, что если \(p\) - простое число, а \(a\) - целое число, не делящееся на \(p\), то \(a^{p-1}\) при делении на \(p\) даёт остаток 1.

В нашем случае, \(p = 2021\) и \(a = 45\), который не делится на \(p\). Таким образом, \(45^{2020}\) при делении на 2021 даёт остаток 1.

Шаг 3: Рассмотрим остатки при делении \(988 \cdot 2^n\) на 2021.

Для начала, упростим \(988 \cdot 2^n\). Заметим, что \(988 = 2^2 \cdot 13 \cdot 19\). Подставим это значение в выражение: \(988 \cdot 2^n = 2^2 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 2^n = 2^{n+2} \cdot 13 \cdot 19\).

Теперь рассмотрим остатки от деления \(2^{n+2}\), \(13\) и \(19\) на 2021.

Для \(2^{n+2}\) применим теперь малую теорему Ферма снова. Заметим, что 2021 является простым числом и \(2\) не делится на 2021. Таким образом, \(2^{2020}\) при делении на 2021 даёт остаток 1.

Теперь, чтобы учесть \(2^{n+2}\), нужно найти остаток \(n+2\) при делении на \(2020\). Делаем это через деление с остатком: \(n+2 = 2020q + r\), где \(q\) - частное, а \(r\) - остаток.

Теперь, учитывая предыдущие результаты, можем записать \(2^{n+2}\) как \(2^{2020q + r}\), а это можно представить как \((2^{2020})^q \cdot 2^r\).

Таким образом, \(2^{2020q + r}\) при делении на 2021 даёт остаток 1.

Шаг 4: Теперь нужно определить остатки от деления \(13\) и \(19\) на 2021.

Используем деление с остатком для \(13\) и \(19\) и получим, что \(13 \equiv 13\) (mod 2021) и \(19 \equiv 19\) (mod 2021).

Шаг 5: Теперь соберем все результаты вместе.

Выражение \(45^n + 988 \cdot 2^n\) дает остаток при делении на 2021 равный: \(1 + 13 \cdot 19 \cdot 2^r\), где \(r\) - остаток числа \(n+2\) при делении на \(2020\).

Таким образом, чтобы выражение \(45^n + 988 \cdot 2^n\) было делится на 2021, должно выполняться условие: \(1 + 13 \cdot 19 \cdot 2^r \equiv 0\) (mod 2021).

Теперь остается только найти значения \(n\), при которых это условие выполняется. Я могу создать список таких значений для вас, если вы хотите?