Под какими значениями переменной выражение √24-6х-3/х-2 имеет смысл?

Амина

56

Для того чтобы выражение \(\sqrt{24-6x-\frac{3}{x-2}}\) имело смысл, нам нужно исключить значения переменной \(x\), при которых будет нарушена допустимость математических операций.

1. Выражение содержит корень из числа \(24-6x-\frac{3}{x-2}\), поэтому необходимо исключить значения переменной \(x\), при которых аргумент корня будет меньше нуля. Аргумент корня должен быть неотрицательным числом.
\[24-6x-\frac{3}{x-2} \geq 0\]

2. Выражение также содержит деление на \(x-2\), поэтому нужно исключить значения переменной \(x\), при которых знаменатель будет равен нулю. Деление на ноль не определено.
\(x-2 \neq 0\)
\(x \neq 2\)

Теперь рассмотрим два условия отдельно и найдем значения переменной \(x\), при которых они выполняются.

1. Решим неравенство \(24-6x-\frac{3}{x-2} \geq 0\):

Для начала избавимся от дроби, умножив обе части неравенства на \(x-2\):

\((x-2)(24-6x-\frac{3}{x-2}) \geq 0\)

Раскроем скобки:

\(24(x-2) - 6x(x-2) - 3 \geq 0\)

\(24x - 48 - 6x^2 + 12x - 3 \geq 0\)

Упростим и приведем подобные члены:

\(-6x^2 + 36x - 27 \geq 0\)

Теперь решим данное квадратное неравенство. Для этого будем искать интервалы, в которых неравенство выполняется:

Сначала найдем корни уравнения \(6x^2 - 36x + 27 = 0\):

\(x = \frac{{-(-36) \pm \sqrt{{(-36)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 27}}}}{{2 \cdot 6}}\)

Решим данное квадратное уравнение:

\(x = \frac{{36 \pm \sqrt{{1296 - 648}}}}{{12}}\)

\(x = \frac{{36 \pm \sqrt{{648}}}}{{12}}\)

\(x = \frac{{36 \pm 2\sqrt{{162}}}}{{12}}\)

\(x = \frac{{36 \pm 6\sqrt{{2}}}}{{12}}\)

\(x = \frac{{6 \pm \sqrt{{2}}}}{{2}}\)

Поэтому корни равны: \(x = 3 + \sqrt{2}\) и \(x = 3 - \sqrt{2}\).

Теперь построим числовую прямую и выясним знак неравенства на каждом из интервалов:

\[
\begin{array}{c|ccc}
& 3 - \sqrt{2} & 3 & 3 + \sqrt{2} \\
\hline
x & -\infty & & \\
-6x^2 + 36x - 27 & + & 0 & - \\
x & & &
\end{array}
\]

Итак, неравенство выполняется при \(x < 3 - \sqrt{2}\) или \(x > 3 + \sqrt{2}\).

2. Учитывая ограничение \(x \neq 2\), мы исключаем \(x = 2\) из рассмотрения.

Таким образом, значение переменной \(x\), при котором выражение \(\sqrt{24-6x-\frac{3}{x-2}}\) имеет смысл, это \(x < 3 - \sqrt{2}\) или \(x > 3 + \sqrt{2}\), при условии, что \(x \neq 2\).