Под какими значениями переменной выражение √24-6х-3/х-2 имеет смысл?

Амина

56

Для того чтобы выражение $\sqrt{24-6x-\frac{3}{x-2}}$ имело смысл, нам нужно исключить значения переменной $x$, при которых будет нарушена допустимость математических операций.

1. Выражение содержит корень из числа $24-6x-\frac{3}{x-2}$, поэтому необходимо исключить значения переменной $x$, при которых аргумент корня будет меньше нуля. Аргумент корня должен быть неотрицательным числом.
$$24-6x-\frac{3}{x-2}\ge 0$$

2. Выражение также содержит деление на $x-2$, поэтому нужно исключить значения переменной $x$, при которых знаменатель будет равен нулю. Деление на ноль не определено.
$x-2\ne 0$
$x\ne 2$

Теперь рассмотрим два условия отдельно и найдем значения переменной $x$, при которых они выполняются.

1. Решим неравенство $24-6x-\frac{3}{x-2}\ge 0$:

Для начала избавимся от дроби, умножив обе части неравенства на $x-2$:

$(x-2)(24-6x-\frac{3}{x-2})\ge 0$

Раскроем скобки:

$24(x-2)-6x(x-2)-3\ge 0$

$24x-48-6x^2+12x-3\ge 0$

Упростим и приведем подобные члены:

$-6x^2+36x-27\ge 0$

Теперь решим данное квадратное неравенство. Для этого будем искать интервалы, в которых неравенство выполняется:

Сначала найдем корни уравнения $6x^2-36x+27=0$:

$x=\frac{-(-36)\pm \sqrt{(-36{)}^2-4\cdot 6\cdot 27}}{2\cdot 6}$

Решим данное квадратное уравнение:

$x=\frac{36\pm \sqrt{1296-648}}{12}$

$x=\frac{36\pm \sqrt{648}}{12}$

$x=\frac{36\pm 2\sqrt{162}}{12}$

$x=\frac{36\pm 6\sqrt{2}}{12}$

$x=\frac{6\pm \sqrt{2}}{2}$

Поэтому корни равны: $x=3+\sqrt{2}$ и $x=3-\sqrt{2}$.

Теперь построим числовую прямую и выясним знак неравенства на каждом из интервалов:

$$\begin{array}{cccc}& 3-\sqrt{2}& 3& 3+\sqrt{2}\\ x& -\mathrm{\infty }& & \\ -6x^2+36x-27& +& 0& -\\ x& & & \end{array}$$

Итак, неравенство выполняется при $x<3-\sqrt{2}$ или $x>3+\sqrt{2}$.

2. Учитывая ограничение $x\ne 2$, мы исключаем $x=2$ из рассмотрения.

Таким образом, значение переменной $x$, при котором выражение $\sqrt{24-6x-\frac{3}{x-2}}$ имеет смысл, это $x<3-\sqrt{2}$ или $x>3+\sqrt{2}$, при условии, что $x\ne 2$.