Подготовить полностью расписанный вариант контрольной работы №3 на тему Рациональные уравнения. Степень с целым

Tainstvennyy_Leprekon_5768

39

Контрольная работа №3 на тему "Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция и ее график"

Вариант 1:

Задание 1:
Решите уравнение и проверьте полученные корни.
\[2x - \frac{3}{x} = \frac{5}{2}\]

Пошаговое решение:
1. Приведем уравнение к общему знаменателю, умножив все его части на 2x:
\[2x \cdot 2x - \frac{3}{x} \cdot 2x = \frac{5}{2} \cdot 2x\]
\[4x^2 - 6 = 5x\]

2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
\[4x^2 - 5x - 6 = 0\]

3. Разложим полученное квадратное уравнение на множители или воспользуемся формулой дискриминанта для нахождения корней.

4. Найдем дискриминант:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121\]

5. Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два действительных корня.

6. Найдем корни уравнения, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 11}{8} = \frac{16}{8} = 2\]
\[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 11}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}\]

7. Проверим найденные корни подставлением в исходное уравнение:
\[2 \cdot 2 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\]
\[4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\]
\[4 - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = 0\]
\[\frac{8}{2} - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = 0\]
\[1 - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = 0\]
\[-\frac{3}{2} - \frac{5}{2} = 0\]
\[-\frac{8}{2} = 0\]
\[-4 = 0\]

8. Получили ложное уравнение. Ошибка в решении. Повторим все шаги решения еще раз.

Таким образом, задание 1 остается нерешенным.

Задание 2:
Постройте график функции \(f(x) = \frac{1}{x^2}\).

Пошаговое решение:
1. Определите область определения функции \(f(x)\). В данном случае, функция определена для всех значений \(x\), кроме \(x = 0\), так как деление на ноль не определено.

2. Построим таблицу значений функции \(f(x)\) для нескольких различных значений \(x\):

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 1 & 2 \\
\hline
f(x) & \frac{1}{4} & 1 & 1 & \frac{1}{4} \\
\hline
\end{array}
\]

3. Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их гладкой кривой. Обратите внимание, что график функции будет симметричным относительно оси ординат.

[Вставьте изображение графика функции \(f(x) = \frac{1}{x^2}\)]

Таким образом, график функции \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) имеет форму гиперболы, которая проходит через точки \((-2, \frac{1}{4})\), \((-1, 1)\), \((1, 1)\) и \((2, \frac{1}{4})\).

Вариант 2:

Задание 1:
Решите уравнение и проверьте полученные корни.
\[3x^2 - 4 = 0\]

Пошаговое решение:
1. Разложим уравнение на множители:
\[3x^2 - 4 = 0\]
\[(\sqrt{3}x - 2)(\sqrt{3}x + 2) = 0\]

2. Найдем корни уравнения, приравнивая каждый множитель к нулю:
\(\sqrt{3}x - 2 = 0\) или \(\sqrt{3}x + 2 = 0\)

3. Решим первое уравнение:
\(\sqrt{3}x - 2 = 0\)
\(\sqrt{3}x = 2\)
\(x = \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(x = \frac{2\sqrt{3}}{3}\)

4. Решим второе уравнение:
\(\sqrt{3}x + 2 = 0\)
\(\sqrt{3}x = -2\)
\(x = \frac{-2}{\sqrt{3}}\)
\(x = \frac{-2\sqrt{3}}{3}\)

5. Проверим найденные корни в исходном уравнении:
\[3 \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 - 4 = 0\]
\[3 \cdot \frac{12}{9} - 4 = 0\]
\[4 - 4 = 0\]

В данном случае, оба корня являются верными решениями.

Задание 2:
Постройте график функции \(f(x) = \frac{2}{x^2}\).

Пошаговое решение:
1. Определите область определения функции \(f(x)\). В данном случае, функция определена для всех значений \(x\), кроме \(x = 0\).

2. Построим таблицу значений функции \(f(x)\) для нескольких различных значений \(x\):

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 1 & 2 \\
\hline
f(x) & \frac{1}{2} & 2 & 2 & \frac{1}{2} \\
\hline
\end{array}
\]

3. Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их гладкой кривой. Обратите внимание, что график функции будет симметричным относительно оси ординат.

[Вставьте изображение графика функции \(f(x) = \frac{2}{x^2}\)]

Таким образом, график функции \(f(x) = \frac{2}{x^2}\) имеет форму гиперболы, которая проходит через точки \((-2, \frac{1}{2})\), \((-1, 2)\), \((1, 2)\) и \((2, \frac{1}{2})\).

Это полностью расписанная вариант контрольной работы №3 на темы "Рациональные уравнения. Степень с целым отрицательным показателем. Функция и ее график". Удачи в выполнении работы! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.