Подтвердить равенство: (b³/b²-8b+16 - b²/b-4)÷(b²/b²-16 - b/b-4)=b²+4b/4-b

Янтарь_2339

47

Давайте решим эту задачу пошагово. Нам нужно подтвердить равенство:

\[
\frac{{b^3}}{{b^2 - 8b + 16}} - \frac{{b^2}}{{b - 4}} \div \frac{{b^2}}{{b^2 - 16}} - \frac{b}{{b - 4}} = \frac{{b^2 + 4b}}{{4 - b}}
\]

Шаг 1: Разложение на множители
Для начала, проведем разложение знаменателей в исходном выражении на множители. Знаменатели в числителях и знаменателях вида \(x^2 - a^2\) можно разложить по формуле разности квадратов:

\[
\begin{align*}
b^2 - 8b + 16 &= (b - 4)(b - 4) \\
b^2 - 16 &= (b - 4)(b + 4)
\end{align*}
\]

Теперь наше равенство выглядит следующим образом:

\[
\frac{{b^3}}{{(b - 4)(b - 4)}} - \frac{{b^2}}{{b - 4}} \div \frac{{b^2}}{{(b - 4)(b + 4)}} - \frac{b}{{b - 4}} = \frac{{b^2 + 4b}}{{4 - b}}
\]

Шаг 2: Упрощение дробей
Давайте упростим каждую дробь по отдельности:

\[
\frac{{b^3}}{{(b - 4)(b - 4)}} - \frac{{b^2}}{{b - 4}} = \frac{{b^3 - b^2(b - 4)}}{{(b - 4)(b - 4)}} = \frac{{b^3 - b^3 + 4b^2}}{{(b - 4)(b - 4)}} = \frac{{4b^2}}{{(b - 4)(b - 4)}}
\]

\[
\frac{{b^2}}{{(b - 4)(b + 4)}} - \frac{b}{{b - 4}} = \frac{{b^2(b - 4) - b(b + 4)}}{{(b - 4)(b + 4)}} = \frac{{b^2b - 4b^2 - (b^2 + 4b)}}{{(b - 4)(b + 4)}} = \frac{{b^3 - 4b^2 - b^2 - 4b}}{{(b - 4)(b + 4)}} = \frac{{b^3 - 5b^2 - 4b}}{{(b - 4)(b + 4)}}
\]

Теперь наше равенство примет вид:

\[
\frac{{4b^2}}{{(b - 4)(b - 4)}} \div \frac{{b^3 - 5b^2 - 4b}}{{(b - 4)(b + 4)}} = \frac{{b^2 + 4b}}{{4 - b}}
\]

Шаг 3: Упрощение выражения
Для начала, посмотрим на знаменатель в правой части равенства. Заметим, что \(4 - b\) можно записать как \(-(b - 4)\). После этого упростим числитель в правой части:

\[
\frac{{4b^2}}{{(b - 4)(b - 4)}} \div \frac{{b^3 - 5b^2 - 4b}}{{(b - 4)(b + 4)}} = \frac{{b^2 + 4b}}{{-(b - 4)}} = \frac{{4b^2}}{{(b - 4)(b - 4)}} \div \frac{{b^3 - 5b^2 - 4b}}{{b + 4}} = \frac{{b^2 + 4b}}{{b + 4}}
\]

Теперь у нас осталось сравнить левую и правую части равенства:

\[
\frac{{b^2 + 4b}}{{b + 4}} = \frac{{b^2 + 4b}}{{b + 4}}
\]

Мы видим, что обе строны равны, значит, исходное выражение подтверждается.

Надеюсь, этот подробный разбор помог вам понять, как получить решение и обосновать равенство. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!