Подтвердите, что функция y=3tgx возрастает на интервале (-п/2

Лизонька

27

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей. Давайте разберемся, как доказать, что функция \(y = 3\tan{x}\) возрастает на интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\).

Для того чтобы доказать возрастание функции, нам нужно показать, что производная функции положительна на указанном интервале. Давайте найдем производную функции и проверим этот факт.

Начнем с выражения для производной функции \(y = 3\tan{x}\). Продифференцируем данную функцию по переменной \(x\), используя правило производной тангенса:

\[
\frac{d}{dx}(\tan{x}) = \sec^2{x}
\]

Теперь у нас есть выражение для производной. Заметим, что требуется доказать возрастание функции на интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\), который является интервалом, где функция тангенса положительна.

Таким образом, чтобы доказать, что функция \(y = 3\tan{x}\) возрастает на данном интервале, мы должны показать, что производная \(\frac{d}{dx}(3\tan{x}) = 3\sec^2{x}\) положительна на этом интервале.

Чтобы подтвердить это, давайте проанализируем знак производной \(\frac{d}{dx}(3\tan{x}) = 3\sec^2{x}\) на интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\).

Запишем условие \(\frac{d}{dx}(3\tan{x}) > 0\) и решим его:

\[
3\sec^2{x} > 0
\]

Так как \(\sec^2{x} > 0\) для любых значений \(x\) (кроме точек, где \(\tan{x}\) неопределен), мы можем утверждать, что \(\frac{d}{dx}(3\tan{x}) > 0\) для всех значений \(x\) на интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\).

Таким образом, на основании анализа производной, мы можем заключить, что функция \(y = 3\tan{x}\) возрастает на интервале \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\).

Надеюсь, этот ответ вам помог! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.