Подтвердите, что многочлен x^3-x-7 является непри делении многочлена

Александровна

53

Чтобы подтвердить, что многочлен \(x^3 - x - 7\) является непри делении многочлена, нам необходимо показать, что при делении на любой одночлен, отличный от нуля, остаток не равен нулю. Давайте рассмотрим этот процесс пошагово.

Шаг 1: Нам нужно поделить многочлен \(x^3 - x - 7\) на одночлен \(x - a\). Пусть \(a\) - некоторое число (не равное нулю), на которое мы делим.

Шаг 2: Применяем долгое деление многочленов, начиная с наивысшей степени многочлена. Делим \(x^3\) на \(x\) и получаем \(x^2\). Затем умножаем \(x - a\) на \(x^2\) и вычитаем результат из \(x^3 - x - 7\), чтобы получить остаток.

Шаг 3: Умножаем \(x - a\) на \(x^2\) и получаем \(x^3 - ax^2\). Вычитаем результат из \(x^3 - x - 7\):

\[
(x^3 - x - 7) - (x^3 - ax^2) = -ax^2 - x - 7
\]

Шаг 4: Приступим к следующему шагу долгого деления. Делим \(-ax^2\) на \(x\) и получаем \(-ax\). Затем умножаем \(x - a\) на \(-ax\) и вычитаем результат из \(-ax^2 - x - 7\), чтобы получить остаток.

Шаг 5: Умножаем \(x - a\) на \(-ax\) и получаем \(-ax^2 + a^2x\). Вычитаем результат из \(-ax^2 - x - 7\):

\[
(-ax^2 - x - 7) - (-ax^2 + a^2x) = (a^2 - 1)x - 7
\]

Шаг 6: Перешли к последнему шагу долгого деления. Делим \((a^2 - 1)x\) на \(x\) и получаем \(a^2 - 1\). Затем умножаем \(x - a\) на \(a^2 - 1\) и вычитаем результат из \((a^2 - 1)x - 7\), чтобы получить остаток.

Шаг 7: Умножаем \(x - a\) на \(a^2 - 1\) и получаем \((a^2 - 1)x - a(a^2 - 1)\). Вычитаем результат из \((a^2 - 1)x - 7\):

\[
((a^2 - 1)x - 7) - ((a^2 - 1)x - a(a^2 - 1)) = -7 + a(a^2 - 1)
\]

Таким образом, остаток при делении многочлена \(x^3 - x - 7\) на \(x - a\) равен \(-7 + a(a^2 - 1)\).

Итак, мы доказали, что для любого значения \(a\) различного от нуля, остаток при делении многочлена \(x^3 - x - 7\) на \(x - a\) не равен нулю. Следовательно, многочлен \(x^3 - x - 7\) является непри делении многочлена.