Покажите, что не возможны значения x и y, при которых многочлены 4x^2-8x^2y-3y^2 и -2x^2+8x^2y+8y^2 принимают

Snezhka

9

Чтобы показать, что многочлены \(4x^2-8x^2y-3y^2\) и \(-2x^2+8x^2y+8y^2\) не могут принимать отрицательные значения одновременно, нам нужно рассмотреть их поведение при различных значениях переменных \(x\) и \(y\).

Для начала, давайте рассмотрим многочлен \(4x^2-8x^2y-3y^2\). Чтобы установить, при каких значениях он может быть отрицательным, нужно найти условия, при которых этот многочлен меньше нуля.

Для этого мы можем воспользоваться методом квадратного трехчлена или геометрическим подходом.

1. Метод квадратного трехчлена:

Для того чтобы \(4x^2-8x^2y-3y^2 < 0\), необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного уравнения \(4x^2-8x^2y-3y^2\) был отрицательным.

Давайте найдем дискриминант:

\[D = (-8x^2y)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3y^2)\]

Упростим:

\[D = 64x^4y^2 + 48y^2\]

Мы должны найти условия, при которых \(D < 0\).

Если рассмотреть каждую компоненту по отдельности, мы видим, что \(D\) может быть отрицательным, только если одновременно \(x\neq0\) и \(y\neq0\).

2. Геометрический подход:

Чтобы визуально представить себе поведение многочлена \(4x^2-8x^2y-3y^2\), мы можем построить его график на координатной плоскости.

На графике мы видим параболу, расположенную ветвями вверх, что говорит нам, что многочлен положителен при любых значениях \(x\) и \(y\), а при \(x=0\) или \(y=0\) многочлен обращается в ноль. Следовательно, многочлен \(4x^2-8x^2y-3y^2\) не может быть отрицательным.

Теперь давайте рассмотрим второй многочлен \(-2x^2+8x^2y+8y^2\).

Аналогично предыдущему многочлену, чтобы установить, при каких значениях он может быть отрицательным, нам нужно найти условия, при которых этот многочлен меньше нуля.

Используя метод квадратного трехчлена, мы находим дискриминант:

\[D = (8x^2y)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 8 \cdot (8y^2)\]

Упростим:

\[D = 64x^4y^2 + 512y^2\]

Аналогично, мы должны найти условия, при которых \(D < 0\).

Рассмотрев каждую компоненту отдельно, мы видим, что \(D\) может быть отрицательным, только если одновременно \(x\neq0\) и \(y\neq0\).

Геометрически можно заметить, что многочлен \(-2x^2+8x^2y+8y^2\) также представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и поэтому он не может быть отрицательным при любых значениях \(x\) и \(y\).

Таким образом, мы показали, что для данных многочленов не существует значений \(x\) и \(y\), при которых они принимают отрицательные значения одновременно.