Посчитайте среднюю скорость движения электронов в проводнике с плотностью электронов n=1029 м-3 при токе j=100 А/см2

Ледяная_Магия

17

Для нахождения средней скорости движения электронов в проводнике сначала воспользуемся формулой, которая связывает плотность тока, площадь поперечного сечения проводника и скорость электронов:

\[j = n \cdot q \cdot v,\]

где \(j\) - плотность тока, \(n\) - плотность электронов в проводнике, \(q\) - заряд электрона, и \(v\) - средняя скорость электронов.

Для нахождения средней скорости электронов нам понадобится выразить эту величину из формулы.

Сначала найдем заряд электрона. Заряд электрона \(q\) равен \(-1,6 \times 10^{-19}\) Кл (колумб).

Теперь можем найти среднюю скорость электронов. У нас заданы значения плотности электронов \(n = 10^{29}\) м\(^{-3}\) и плотности тока \(j = 100\) А/см\(^2\). Переведем плотность тока в единицы СИ:

1 А/м\(^2\) = 10 A/см\(^2\).

Теперь подставим в формулу:

\[j = n \cdot q \cdot v.\]

Получим:

\[10^{29} \cdot (-1,6 \times 10^{-19}) \cdot v = 100.\]

Теперь решим уравнение относительно средней скорости электронов \(v\):

\[-16 \cdot 10^{10} \cdot v = 100.\]

Разделим обе части уравнения на \(-16 \cdot 10^{10}\):

\[v = \frac{100}{-16 \cdot 10^{10}}.\]

Выполним вычисление:

\[v = -6,25 \times 10^{-13}\ \text{м/с}.\]

Таким образом, средняя скорость движения электронов в проводнике с плотностью электронов \(n = 10^{29}\) м\(^{-3}\) при токе \(j = 100\) А/см\(^2\) составляет примерно \(-6,25 \times 10^{-13}\) м/с.

Чтобы сопоставить эту скорость с средней скоростью теплового движения при комнатной температуре, нам понадобится использовать формулу для средней квадратичной скорости молекул:

\[v_{\text{тепл}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}},\]

где \(v_{\text{тепл}}\) - средняя скорость теплового движения, \(k\) - постоянная Больцмана, \(T\) - температура в кельвинах, а \(m\) - масса одной молекулы.

При комнатной температуре принимается \(T \approx 298\) К.

Значение постоянной Больцмана составляет \(k = 1,38 \times 10^{-23}\) Дж/К.

Для найти массу одной молекулы нам понадобится знать, с каким элементом мы имеем дело. Давайте для примера возьмем кислород (O2). Молярная масса кислорода \(M_{\text{кисл}} = 32\) г/моль или \(M_{\text{кисл}} = 32 \times 10^{-3}\) кг/моль.

Для нашего расчета нам понадобится масса одной молекулы, которую можно получить, разделив молярную массу на число Авогадро \(N_A = 6,022 \times 10^{23}\) молекул/моль:

\[m = \frac{M_{\text{кисл}}}{N_A}.\]

Подставим известные значения в формулу:

\[m = \frac{32 \times 10^{-3}}{6,022 \times 10^{23}}.\]

Выполним вычисление:

\[m \approx 5,32 \times 10^{-26}\ \text{кг}.\]

Теперь можем найти среднюю скорость теплового движения при комнатной температуре:

\[v_{\text{тепл}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1,38 \times 10^{-23} \cdot 298}{5,32 \times 10^{-26}}}.\]

Выполним вычисление:

\[v_{\text{тепл}} \approx 463,5\ \text{м/с}.\]

Итак, чтобы сопоставить среднюю скорость движения электронов в проводнике с плотностью электронов \(n = 10^{29}\) м\(^{-3}\) при токе \(j = 100\) А/см\(^2\), равную \(-6,25 \times 10^{-13}\) м/с, со средней скоростью теплового движения при комнатной температуре, которая составляет примерно 463,5 м/с, мы видим, что скорость электронов в проводнике гораздо меньше скорости их теплового движения при комнатной температуре.