Построить через точку пересечения плоскости x+y+z-1=0 и прямой {y=1, z+1=0} прямую, которая лежит в этой плоскости

Софья

44

Для начала нам понадобится найти координаты точки пересечения прямой и плоскости. Для этого нам нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения плоскости \(x+y+z-1=0\) и уравнений прямой \(\{y=1, z+1=0\}\).

Давайте начнем с уравнения плоскости. Мы можем выразить переменную \(x\) через остальные переменные по следующей формуле: \(x = 1 - y - z\).

Подставим это значение \(x\) в каждое из уравнений прямой и получим систему из двух уравнений: \(y=1\) и \(z+1=0\).

Теперь давайте решим эту систему. У первого уравнения \(y=1\) мы уже знаем значение \(y\). Подставим его во второе уравнение: \(z+1=0\). Из этого уравнения мы можем найти \(z\), вычтя из обеих частей уравнения 1: \(z = -1\).

Таким образом, мы получили координаты точки пересечения прямой и плоскости: \(x = 1 - y - z = 1 - 1 - (-1) = 1\) (мы использовали значения \(y=1\) и \(z=-1\) в выражении для \(x\)), \(y = 1\) и \(z = -1\).

Теперь нам нужно построить прямую, которая будет лежать в данной плоскости (то есть в плоскости \(x+y+z-1=0\)) и будет перпендикулярна заданной прямой.

Для этого мы можем использовать векторное произведение. Векторное произведение двух векторов возвращает вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам.

Вектором, лежащим на данной прямой, является вектор \(\vec{v} = \langle 0, 1, -1 \rangle\), так как для каждого значения параметра \(t\) (которого нет в задаче, но это обычная запись вектора, где \(t\) - параметр) координаты вектора \(\vec{v}\) удовлетворяют уравнениям прямой \(\{y=1, z+1=0\} \Rightarrow y=1, z=-1\).

Выберем другой вектор, лежащий в данной плоскости, например \(\vec{u} = \langle 1, -1, 0 \rangle\). Мы можем использовать любой вектор в плоскости, но удобно выбрать такой вектор, у которого одна из координат равна 0.

Теперь мы можем вычислить векторное произведение \(\vec{n}\) этих двух векторов:

\[
\vec{n} = \vec{v} \times \vec{u}
\]

Векторное произведение можно вычислить с помощью следующей формулы:

\[
\vec{n} = \langle v_2u_3 - v_3u_2, v_3u_1 - v_1u_3, v_1u_2 - v_2u_1 \rangle
\]

Подставив значения из наших векторов, мы получим:

\[
\vec{n} = \langle 0*(-1) - 1*0, 1*1 - 0*(-1), 0*(-1) - 1*(-1) \rangle = \langle 0, 1, -1 \rangle
\]

Таким образом, вектор \(\vec{n} = \langle 0, 1, -1 \rangle\) является перпендикулярным исходной прямой и лежит в данной плоскости.

Мы можем представить искомую прямую как:

\[
\{ x = 1 + 0t, y = 1 + 1t, z = -1 - 1t \}
\]

где \(t\) - параметр, являющийся любым вещественным числом.

Таким образом, мы построили прямую, которая лежит в плоскости \(x+y+z-1=0\) и перпендикулярна прямой \(\{y=1, z+1=0\}\).