Пожалуйста, найдите первообразную в общем виде для следующих функций: 1) Найти первообразную в общем виде для функции

Murzik_2735

35

Конечно! Давайте рассмотрим каждую из функций по отдельности и найдем их первообразные.

1) Для функции \(f(x) = 14x^6 + 3x^5 + 15\), мы должны найти функцию \(F(x)\), такую что \(F"(x) = f(x)\). Для этого возьмем каждую степень \(x\), увеличим ее на 1 и разделим на новый показатель степени. Таким образом, первообразная будет иметь вид:
\[F(x) = \frac{14}{7}x^7 + \frac{3}{6}x^6 + 15x + C, \]
где \(C\) - произвольная постоянная.

2) Для функции \(f(x) = \frac{9}{2\sqrt{3}x+2} + \frac{2}{\sin^2 x}\), мы должны найти функцию \(F(x)\), такую что \(F"(x) = f(x)\). Найдем первообразную каждой части функции по отдельности.

Для первого слагаемого: \(\int \frac{9}{2\sqrt{3}x+2} \, dx\). Чтобы упростить интеграл, введем замену переменных \(\mathbf{u} = 2\sqrt{3}x+2\). Тогда \(du = 2\sqrt{3} \, dx\) или \(dx = \frac{du}{2\sqrt{3}}\). Подставим это в интеграл:
\[\int \frac{9}{2\sqrt{3}x+2} \, dx = \int \frac{9}{\mathbf{u}} \, \frac{du}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{2\sqrt{3}} \int \frac{1}{\mathbf{u}} \, du = \frac{9}{2\sqrt{3}} \ln|\mathbf{u}| + C_1,\]
где \(C_1\) - постоянная интегрирования.

Для второго слагаемого: \(\int \frac{2}{\sin^2 x} \, dx\). Мы знаем, что \(\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x\), поэтому получаем:
\[\int \frac{2}{\sin^2 x} \, dx = 2\int \csc^2 x \, dx = -2\cot x + C_2,\]
где \(C_2\) - постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная функции \(f(x) = \frac{9}{2\sqrt{3}x+2} + \frac{2}{\sin^2 x}\) может быть записана как
\[F(x) = \frac{9}{2\sqrt{3}} \ln|\mathbf{u}| - 2\cot x + C,\]
где \(C\) - произвольная постоянная и \(\mathbf{u} = 2\sqrt{3}x+2\).

3) Для функции \(f(x) = \frac{4\sin x}{4} + \cos 2x\), мы должны найти функцию \(F(x)\), такую что \(F"(x) = f(x)\). Найдем первообразную каждой части функции по отдельности.

Для первого слагаемого: \(\int \frac{4\sin x}{4} \, dx\). Заметим, что здесь в числителе и знаменателе есть число 4, которые сокращаются. Получаем:
\[\int \frac{4\sin x}{4} \, dx = \int \sin x \, dx = -\cos x + C_1,\]
где \(C_1\) - постоянная интегрирования.

Для второго слагаемого: \(\int \cos 2x \, dx\). Вспомним формулу приведения для косинуса: \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\). Подставим это в интеграл:
\[\int \cos 2x \, dx = \int (1 - 2\sin^2 x) \, dx = x - 2\int \sin^2 x \, dx = x - 2\left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) + C_2,\]
где \(C_2\) - постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная функции \(f(x) = \frac{4\sin x}{4} + \cos 2x\) имеет вид
\[F(x) = -\cos x + x - \frac{\sin 2x}{2} + C,\]
где \(C\) - произвольная постоянная.

Надеюсь, это решение ясно и понятно для вас! Если у вас возникли еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их.