Построить график функции у=|х|, a) найти максимальное и минимальное значение этой функции на интервале [0

Викторович

25

Для начала, построим график функции $y=|x|$ на интервале [0; 4].

Функция $|x|$ имеет два параболических участка, симметричных относительно оси y. Один из участков находится выше оси x, а второй - ниже.

На интервале [0; 4] мы имеем положительные значения для $x$, поэтому функция $y=|x|$ будет просто равна $y=x$ в этом диапазоне.

Теперь перейдем к поиску максимального и минимального значения функции на заданном интервале.

а) Максимальное значение функции на интервале [0; 4] будет находиться на самой правой точке графика. Подставим $x=4$ в функцию $y=|x|$:
$$y=|4|=4$$
Таким образом, максимальное значение функции $y=|x|$ на интервале [0; 4] равно 4.

Минимальное значение функции будет находиться в ее начальной точке. Подставим $x=0$ в функцию:
$$y=|0|=0$$
Так что минимальное значение функции $y=|x|$ на интервале [0; 4] равно 0.

б) Теперь найдем значения $x$, при которых $y\le 3$. Подставим $y=3$ в уравнение $y=|x|$:
$$3=|x|$$
Так как функция $y=|x|$ может быть равной только неотрицательным значениям $y$, то решением этого уравнения будет два значения $x$:
$$x=3\text{и}x=-3$$

Построим график функции $y=\sqrt{x^2}$ на полуинтервале [-2; 0).

Функция $\sqrt{x^2}$ также имеет два параболических участка, но на этот раз они симметричны относительно оси x. Один из участков находится выше оси x, а второй - ниже.

На полуинтервале [-2; 0) функция будет принимать отрицательные значения, так как мы имеем отрицательные значения для $x$. Поэтому, чтобы найти $y$, нам нужно взять абсолютное значение $\sqrt{x^2}$.

Теперь перейдем к поиску максимального и минимального значения функции на заданном полуинтервале.

а) Минимальное значение функции будет находиться в ее конечной точке на полуинтервале. Подставим $x=-2$ в функцию $\sqrt{x^2}$:
$$y=\sqrt{(-2{)}^2}=\sqrt{4}=2$$
Таким образом, минимальное значение функции $\sqrt{x^2}$ на полуинтервале [-2; 0) равно 2.

Максимальное значение функции будет находиться на оси x, где функция имеет вершину. В данном случае вершина находится в начальной точке полуинтервала, где $x=0$. Подставим $x=0$ в функцию:
$$y=\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$$
Таким образом, максимальное значение функции $\sqrt{x^2}$ на полуинтервале [-2; 0) равно 0.

б) Теперь найдем значения $x$, при которых $y\le 3$. Подставим $y=3$ в уравнение:
$$3=\sqrt{x^2}$$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$$9=x^2$$
Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
$$x=\pm 3$$
Таким образом, значения $x$, при которых $y\le 3$ для функции $\sqrt{x^2}$ на полуинтервале [-2; 0), равны -3 и 3.

Мы построили графики и нашли максимальные и минимальные значения функций на заданных интервалах, а также указали значения $x$, для которых $y\le 3$.