Построить график функции у=|х|, a) найти максимальное и минимальное значение этой функции на интервале [0

Викторович

25

Для начала, построим график функции \(y=|x|\) на интервале [0; 4].

Функция \(\lvert x \rvert\) имеет два параболических участка, симметричных относительно оси y. Один из участков находится выше оси x, а второй - ниже.

На интервале [0; 4] мы имеем положительные значения для \(x\), поэтому функция \(y=|x|\) будет просто равна \(y=x\) в этом диапазоне.

Теперь перейдем к поиску максимального и минимального значения функции на заданном интервале.

а) Максимальное значение функции на интервале [0; 4] будет находиться на самой правой точке графика. Подставим \(x=4\) в функцию \(y=|x|\):
\[y=|4|=4\]
Таким образом, максимальное значение функции \(y=|x|\) на интервале [0; 4] равно 4.

Минимальное значение функции будет находиться в ее начальной точке. Подставим \(x=0\) в функцию:
\[y=|0|=0\]
Так что минимальное значение функции \(y=|x|\) на интервале [0; 4] равно 0.

б) Теперь найдем значения \(x\), при которых \(y \leq 3\). Подставим \(y=3\) в уравнение \(y=|x|\):
\[3=|x|\]
Так как функция \(y=|x|\) может быть равной только неотрицательным значениям \(y\), то решением этого уравнения будет два значения \(x\):
\[x=3 \quad \text{и} \quad x=-3\]

Построим график функции \(y=\sqrt{x^2}\) на полуинтервале [-2; 0).

Функция \(\sqrt{x^2}\) также имеет два параболических участка, но на этот раз они симметричны относительно оси x. Один из участков находится выше оси x, а второй - ниже.

На полуинтервале [-2; 0) функция будет принимать отрицательные значения, так как мы имеем отрицательные значения для \(x\). Поэтому, чтобы найти \(y\), нам нужно взять абсолютное значение \(\sqrt{x^2}\).

Теперь перейдем к поиску максимального и минимального значения функции на заданном полуинтервале.

а) Минимальное значение функции будет находиться в ее конечной точке на полуинтервале. Подставим \(x=-2\) в функцию \(\sqrt{x^2}\):
\[y=\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2\]
Таким образом, минимальное значение функции \(\sqrt{x^2}\) на полуинтервале [-2; 0) равно 2.

Максимальное значение функции будет находиться на оси x, где функция имеет вершину. В данном случае вершина находится в начальной точке полуинтервала, где \(x=0\). Подставим \(x=0\) в функцию:
\[y=\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0\]
Таким образом, максимальное значение функции \(\sqrt{x^2}\) на полуинтервале [-2; 0) равно 0.

б) Теперь найдем значения \(x\), при которых \(y \leq 3\). Подставим \(y=3\) в уравнение:
\[3=\sqrt{x^2}\]
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[9=x^2\]
Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
\[x=\pm 3\]
Таким образом, значения \(x\), при которых \(y \leq 3\) для функции \(\sqrt{x^2}\) на полуинтервале [-2; 0), равны -3 и 3.

Мы построили графики и нашли максимальные и минимальные значения функций на заданных интервалах, а также указали значения \(x\), для которых \(y \leq 3\).